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Pyramidenproblem

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Jürgen aus dem Harz
Spielkamerad
Beiträge: 35

Pyramidenproblem

Beitragvon Jürgen aus dem Harz » 21. Juli 2008, 21:34

Werte Spieleautoren!
Da ich einige Mathematikexperten unter Euch weiß, stelle ich hier mein Problem mal vor.

Ich will eine (ev.mehrere) Pyramide aus Sperrholz bauen.
Die Grundfläche soll 15 cm x 15 cm betragen. Die Höhe der Pyramide ist egal und der Winkel der Seitenflächen der Pyramide soll 45 Grad betragen.
Zum Bau benötige ich nun vier gleichschenklige Dreiecke aus Sperrholz.Diese werden an den Seiten verleimt.

Nun meine Frage:

Mit welchem Winkel muß ich die Schenkel der Dreiecke zuschneiden um oben angegebene Maße zu erreichen.
Hier meine ich die Gehrung, nicht den Winkel der Dreiecke ansich.
Und welche Höhe hat ein solches Dreieck?

Für den Zuschnitt wären 45 Grad Gehrungsschnitt optimal.Wegen der beidseitigen Verwendung.

Oder noch mal anders herum gefragt:

Wenn ich die optimalen 45 Grad Gehrungsschnitt für den Zuschnitt der Schenkel der vier Dreiecke wähle, welchen Winkel hat dann diese Pyramide? (die Höhe der Pyramide bleibt egal)

Mit Spiergruß Jürgen aus dem Harz

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Heinrich Glumpler

Re: Pyramidenproblem

Beitragvon Heinrich Glumpler » 21. Juli 2008, 21:55

Hi,

mal sehen, ob ich das richtig verstehe.

Die Grundfläche ist 15cm x 15cm.
Die Seitenflächen der Pyramiden sollen einen Winkel von 45 Grad haben.

Ich haue die Pyramide mal mit einem Schwert genau so durch, dass ich
die Spitze treffe und dann senkrecht bis zum Boden durchschneide.

Wenn ich jetzt die eine Hälfte weg werfe, sehe ich von der Seite
ein Dreieck. Die Seite des Dreiecks, die auf dem Boden liegt, ist
7,5 cm (die andere Hälfte ist ja weg) lang.

Die linke Seite des Dreiecks steht senkrecht (das ist die Schnittfläche
meines Schwertschlages).

Die rechte Seite hat immer noch einen Winkel von 45 Grad.

Da die Summe der Innenwinkel im Dreieck immer 180 Grad ist, habe ich
oben an der Spitze des Dreiecks auch einen Winkel von 45 Grad.

Mit anderen Worten: ein rechtwinkliges, gleichschenkliges Dreieck.

Die Höhe liegt damit fest: 7,5 cm (ist ja aber egal).

Weiter gehts: was ist die Frage?

Wir wollen wissen, wie wir die vier Dreiecke schneiden müssen, aus
denen die Pyramide zusammen gebaut wird.

Schauen wir mal auf so eine Dreiecksfläche drauf, fällt uns auf, das
es auch schon mal gleichschenklig ist und das die Kante, die unten auf
dem Boden aufliegt 15 cm lang ist (sie muss ja an die Grundfläche
anschließen).

Und - wir wissen auch die Höhe dieser Dreiecksfläche - wir brauchen nur
noch mal an dieses ominöse erste Dreieck denken, das ich weiter oben
so genau angesehen hab. Das hat drei Kanten, von denen wir zwei
längenmäßig bestimmt haben - die auf dem Boden liegende Kante hat 7,5
cm und die senkrecht dazu stehende Kante hat auch 7,5 cm (die Höhe
der Pyramide, die ja eigentlich egal ist).
Da das Teil aber auch rechtwinklig ist, können wir den Pythargoras-Satz
anwenden, d.h., die dritte Kante - die so schepp mit 45 Grad nach
oben läuft, hat eine Länge von WURZEL AUS (2 MAL (7,5 MAL 7,5)) - das sind
so ungefähr 10,6 cm

Und das ist die Höhe der Dreiecksfläche, von denen wir vier Stück
aussägen wollen.

Den Winkel hab ich jetzt nicht gesagt, aber wenn man die Grundlinie
hin malt (15 cm) und dann von der Mitte aus eine Linie die senkrecht
darauf steht und 10,6 cm lang ist, bekommt man die Spitze des gesuchten
Dreiecks.

Keine Gewähr! Das hab ich alles mal eben so runtergetippt, weil mir solche geometrischen Spielereien mit rechtwinkligen Dreiecken Spass machen...

Und ich hab das nicht so komisch beschrieben, weil ich hier dozieren
will, ... sondern weil ich es sonst aufmalen müsste - und Zeichnungen
kann man hier nicht posten (keine Sorge, KMW, den Anwenderwunsch hab
ich auch nicht :grin:).

Grüße
Heinrich

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Heinrich Glumpler

Re: Pyramidenproblem

Beitragvon Heinrich Glumpler » 21. Juli 2008, 22:20

däh -
- ich hab die Frage falsch verstanden.

Wir gehen von vier Dreiecken aus, deren längste Kante 15 cm hat und deren Schenkel in einem Winkel von 45 Grad geschnitten sind - die klappen wir zu einer Pyramide zusammen und wollen wissen, welche Neigung die Seitenflächen zum Boden haben.

Dann spielen wir halt noch mal.

Wir gehen umgekehrt vor.
So eine Seitenfläche ist ein gleichschenkliges Dreieck. Die Höhe ist - ha - 7,5 cm ... mit der gleichen Begründung wie zuvor (nur angewendet auf die Seitenflächen), denn die Hälfte einer Seitenfläche hat wiederum die drei Winkel 90 Grad, 45 Grad (unten) und 45 Grad (an der Spitze).

Tja - und damit fällt unsere Pyramide zusammen, denn wenn wir die Seitenflächen auf die Grundfläche stellen, klappen die alle flach runter - Neigungswinkel der Seiten der Pyramide ist 0 Grad.

Mit anderen Worten - der für das Zuschneiden ideale Winkel von 45 Grad bringt nix.

Ich kann nur - doch - wieder meine erste Lösung anbieten mit dem Ergebnis, dass die Seitenflächen am Ende einen Winkel von 45 Grad bilden.

Puh - falsche Antwort auf falsche Frage - gibt am Ende doch noch was, was ... dir was bringt, lieber Jürgen.

Grüße
Heinrich

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Carsten Wesel | FAIRspielt.de

Re: Pyramidenproblem

Beitragvon Carsten Wesel | FAIRspielt.de » 22. Juli 2008, 14:19

Heinrich Glumpler schrieb:
>
> Ich kann nur - doch - wieder meine erste Lösung anbieten mit
> dem Ergebnis, dass die Seitenflächen am Ende einen Winkel von
> 45 Grad bilden.

Wir sind doch bei Holz und nicht bei Pappe, oder? Holz hat doch 'ne Dicke und diese Dicke soll doch die Klebekante an den 4 Seiten der Pyramide sein. Richtig? Und wenn ich jetzt von oben auf eine Holz-Seite schaue, dann sehe ich einen Strich in der Holzstärke und wenn ich dann die beiden angrenzenden Seiten betrachte, dann ebenso. Am Boden haben die einen Winkel von 90 Grad (weil quadratische Grundfläche) und wenn die einfach senkrecht in den Himmel wüchsen, dann hätten wir eine quadratische Säule deren Seiten unter einem Winkel von 45 Grad aneinander geklebt werden. Und mathamatisch betrachtet ist die quadratische Säule bestimmt ein Extremfall einer Pyramide, wo sich die 4 Seiten erst im Unendlichen oberhalb der Grundflächenmitte treffen.

Den anderen Extremfall (mit liegenden Seitenwänden) kann man sich sicher auch noch vorstellen - das ergibt dann einen Winkel von 0 Grad, da hier nix mehr geklebt werden muß.

Somit ist der gesuchte Winkel doch von der Höhe abhängig und da die Höhe egal ist, ist es auch der Winkel, solange er zwischen den 2 Extremen liegt - man suche sich halt 'n Winkel aus und damit ergibt sich eine fixe Höhe. 'ne Formel zum Umrechnen habe ich nicht, ich bin ja kein Mathematist.

Gruß Carsten (der Heinrichs Erklärung auch nicht ganz verstanden hat, aber den Schwertschlag sehr anschaulich fand)

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Heinrich Glumpler

Re: Pyramidenproblem

Beitragvon Heinrich Glumpler » 22. Juli 2008, 15:43

Uh, uh,

für die Schnittkanten der Flächen hab ich noch keine anschauliche Vorstellung,

naja

wenn man die ganze Pyramide so dreht, dass die Kante von zwei sich berührenden Seitenflächen waagerecht steht - dann hat man einen Dachfirst - und da ist es logisch, dass auch die Kanten im Winkel von 45 Grad abgesägt sind.

Wichtig ist nur, denke ich, dass man die gesamten Berechnungen bezüglich der Längen entweder für die Außenseite oder für die Innenseite der Bretter macht.

Im Zweifelsfall würde ich es mal mit Styropor ausprobieren.

Grüße
Heinrich

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Jürgen aus dem Harz
Spielkamerad
Beiträge: 35

Re: Pyramidenproblem

Beitragvon Jürgen aus dem Harz » 22. Juli 2008, 21:20

Hallo!
Habe leider das falsche Forum erwischt, sollte in Spieleautoren erscheinen.
Das ganze Problem ist recht kompliziert.
Noch mal kurz erläutert.
Die Pyramide besteht aus 4 Dreiecken.
Betrachten wir eines davon, so hat die Grundlinie eine Länge von 15 cm. Die Höhe ist laut Berechnung 10,60 cm.
Die beiden Seitenlinien sind gleich lang und bilden den First der Pyramide. Diese werden auch verklebt.
Diese beiden Seitenlinien müssen nun schräg gesägt werden. Aber in welchem Winkel? Mit 45° bin ich nicht zurecht gekommen, es ist ein anderer Winkel.

Mit Probieren kommt man auch ans Ziel, aber ich hatte eher an eine Berechnung gedacht.

Gruß Jürgen

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MiKa
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Beiträge: 83

Re: Pyramidenproblem

Beitragvon MiKa » 23. Juli 2008, 12:16

Hallo Jürgen,

versuche es mal mit der Formel:
Gehrungswinkel = (cos^-1(-(a^2)/(a^2+4*h^2)))/2
Für dein Beispiel mit einer Grundseitenlänge a von 15 cm und der Pyramidenhöhe h von 10,6 cm würde sich ergeben:
(cos^-1 (-(225/(225+449,44)))/2 = (cos^-1(-0,3336))/2 = 54,74°

Gruß
Michael

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Jürgen aus dem Harz
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Beiträge: 35

Re: Pyramidenproblem

Beitragvon Jürgen aus dem Harz » 23. Juli 2008, 20:27

Hallo Mika!

Auf diese Formel wäre ich nie gekommen.
Also sind das rund 55°.
Leider komme ich dieses Wochenende nicht zum Sägen, dann würde ich gleich vermelden wenn die Teile passen.

Habe besten Dank -- Jürgen--


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