Faire Würfel?

[André Maack]

Hallo!

Gestern haben wir in fröhlicher Runde zufällig das Thema „Würfel“ angeschnitten. Dabei gab es eine größere theoretische Diskussion über folgende Aussage:

„Es gibt keine anderen fairen Würfel als die 5 platonischen Körper“
(also Würfel mit 4, 6, 8, 12 und 20 Seiten).


Das würde bedeuten, dass es z.B. keinen fairen Würfel mit genau 10 oder 32 oder 96 Seiten gibt, egal wie er aussieht.


Hat sich da zufällig schon einmal jemand Gedanken gemacht?

André



http://de.wikipedia.org/wiki/Platonische_K%C3%B6rper

http://de.wikipedia.org/wiki/Archimedischer_K%C3%B6rper

[Heinrich Glumpler]

Hi,

nein - aber ich könnte mir ja jetzt ein paar Gedanken machen :-)

Ich nehme einen Säule, deren Querschnitt ein gleichseitiges, gleichwinkliges Vieleck ist.
Ich spitze diese Säule oben und unten an, so dass sie, wenn sie auf eine Fläche geworfen oder gerollt wird, auf einer der Seiten liegen bleibt.

Ich denke, die Wahrscheinlichkeit, mit der die Säule auf einer bestimmten Seite liegen bleibt ist für jede Seite gleich hoch (wenn das Querschnitt-Vieleck wirklich gleichmäßig ist).

Kommt natürlich drauf an, wie ihr "Würfel" definiert habt, aber ich denke, mit meiner Vorgehensweise könnte ich mir beliebig-seite faire "Würfel" bauen.

Grüße
Heinrich

[Wolfram Püchert alias WeePee]

Ach, dann sind meine 10-seitigen Würfel unfair?

Das habe ich bisher noch nicht bemerkt ... und ich bin Mathematiker .... und mein Fachgebiet war die Wahrscheinlichkeitstheorie.

Warum sollte ein 10-seitiger Würfel nicht "fair" sein?

[Udo Greppmaier]

Hi André,

die platonischen Körper sind solche, weil sie so wunderbar symmetrisch sind. Alle Winkel sind gleich groß, und damit natürlich auch alle Flächen.
Der einfachste Fall eines Würfels, der kein platonischer Körper ist, ist der zweiseitige Würfel (Münze). Ist fair. Dann gibt es den 10-seiter. Bei dem sind nicht alle Winkel gleich, daher sind die Seiten drachenförmig. Aber die Flächen sind trotzdem gleich groß, insgesamt ist er symmetrisch. Ist also fair. Etwas anderes wäre ein Würfel mit Brilliantschliff: der hat eine sehr große Fläche, und viele kleine (auch unterschiedlich groß). Der landet natürlich häufiger auf der großen Fläche denn auf einer bestimmten der kleinen. Ist also nicht fair.

Grüßle,

Udo

[andreas]

Moin,

die frage, ob ein würfel fair ist oder nicht ist absurd, denn wenn alle spieler die gleichen würfel benutzen, sind alle würfel fair!

Gruß
Andreas

[peer]

Hi,
André Maack schrieb:
> Gestern haben wir in fröhlicher Runde zufällig das Thema
> „Würfel“ angeschnitten. Dabei gab es eine größere
> theoretische Diskussion über folgende Aussage:
>
> „Es gibt keine anderen fairen Würfel als die 5 platonischen
> Körper“
> (also Würfel mit 4, 6, 8, 12 und 20 Seiten).

Da wäre die Frage warum andere Würfel nicht fair sein sollten? Platonische Körper heißt, dass jede Seite gleich ist, alle Winkel (der Flächen) gleich gross und dass der Körper nicht konkav ist (also z.B. kein Stern).

Fair ist ein Würfel, wenn alle Flächen gleich oft geworfen werden (können). Dies ist der Fall, wenn alle Flächen gleich gross und gleich "würfelbar" sind. Gewölbte Flächen sind also auch schlecht. Die Eigenschaft dass alle Winkel gleich sind beinflusst die Wahrscheinlichkeit also nicht - die Flächen können irgendwie geformt sein, so lange sie alle gleich sind. Beispiele: Münzen oder runde Würfel sind fair.
Heinrichs Säulenidee ist ein weieters Beispiel und tatsächlich wurden dreieckige Würfelstäbe (also dreiseitige Prismen) jahrhundertelang in bestimmten Kulturen benutzt.

ciao
peer (der sich als Rollenspieler aber natürlich auch mit Würfelmystik auskennt)

[Olav Müller]

andreas schrieb:
> die frage, ob ein würfel fair ist oder nicht ist absurd, denn
> wenn alle spieler die gleichen würfel benutzen, sind alle
> würfel fair!

Ach? Gegeben ein "Würfel" der häufiger 1-3 als 4-6 würfelt. Ich gewinne, wenn eine Zahl kleiner 4 kommt, Du wenn eine Zahl größer 3 kommt. Das wäre nicht fair und ein zugegebenermassen sehr doofes Spiel. Ein komplexeres unfaires Spiel für diesen Würfel zu entwickeln bleibt dem geneigten Leser zur Übung überlassen.

Die Fairness eines Würfels hat nichts mit dem Spiel zu tun, für das er verwendet wird. Dies ist durchaus eine sinnvolle Diskussion (deren Punkt aber schon geklärt wurde).

CU,
Olav

[Martin Windischer]

Hier noch ein kleiner link mit einer Auflistung aller fairen Würfel (jede Seite kann mit gleicher Wahrscheinlichkeit gewürfelt werden):

http://www.mathpuzzle.com/Fairdice.htm

Martin

[andreas]

Auch hier muss ich widersprechen. Wenn alle Spieler von Beginn des Spieles an um die gegebenen Würfel und ihre besonderen eigenschaften wissen, sind alle Würfel fair, egal wie sie beschaffen sind...jeder Spieler kann seine Strategie nach den würfeln auslegen. Unfair wird es nur, wenn die Spieler unterschiedliche würfel benutzen, oder um die eigenschaften der würfel nicht bescheid wissen.

Gruß
Andreas

[Axel Bungart]

Naja,... da sind aber schon etwas merkwürdige Gestalten bei.
Immerhin sollte man bei einem "Würfel" zumindest auch eindeutig erkennen können, welche Zahl nun gerade oben ist.

Für mich stellt sich immer erst nach einem Spiel heraus, ob der Würfel nun fair war oder nicht. Wenn ich gewonnen habe, war er fair. :-D
Gruß
Axel

[Bernd Geiges]

Axel Bungart schrieb:
>
> Naja,... da sind aber schon etwas merkwürdige Gestalten bei.
> Immerhin sollte man bei einem "Würfel" zumindest auch
> eindeutig erkennen können, welche Zahl nun gerade oben ist.


...sonst muss man halt so spielen, dass die Zahl gilt, die unten ist :-)...

Gruss, Bernd

[André Maack]

Danke für euere Hinweise.
Mit „Fair“ meine ich, dass jede „Fläche“ des „Würfelgebildes“ gleichwahrscheinlich ist.
Und ich dachte immer, dass das nur bei Laplace Würfeln der Fall ist, und davon gibt es meines Wissens nach nur fünf, nämlich die platonischen Körper.

Die Seite mit den Fairdice werde ich mir mal genauer anschauen…ist aber auf alle Fälle sehr interessant.

André

[peer]

Hi,
André Maack schrieb:
>
> Danke für euere Hinweise.
> Mit „Fair“ meine ich, dass jede „Fläche“ des
> „Würfelgebildes“ gleichwahrscheinlich ist.
> Und ich dachte immer, dass das nur bei Laplace Würfeln der
> Fall ist, und davon gibt es meines Wissens nach nur fünf,
> nämlich die platonischen Körper.

Nein, Laplace-Würfel heisst: Jede Seite ist gleichberechtigt. Bei den platonischen Körpern ist zusätzlich verlangt, dass jede Fläche ein Gleichseiter sein muss. Das sind ja zwei unterschiedliche Dinge (sieht man bei einer Münze recht gut, die ja sozusagen den inbegrigg des Laplace-Würfels ist)
ciao
peer

[Thomas Tillich]

peer schrieb:
> Die Eigenschaft dass alle Winkel gleich sind
> beinflusst die Wahrscheinlichkeit also nicht - die Flächen
> können irgendwie geformt sein, so lange sie alle gleich sind.

Doch, die Winkel beeinflussen die Wahrscheinlichkeit schon. Und nicht alle Flächen, die gleich groß sind, werden mit gleicher Wahrscheinlichkeit "gewürfelt".

Gerade die genannte Säule läßt sich leicht so konstruieren, daß ein Seite der Säule genau den gleichen Flächeninhalt wie Kopf und Fuß der Säule. Und solange die Säule auch wie eine Säule aussieht (also entsprechend länglich ist), ist die Wahrscheinlichkeit, daß sie auf Kopf oder Fuß stehen bleibt, ziemlich gering - trotz gleichen Flächeninhalts. :-)

[Bastl]

andreas schrieb:
>
> Auch hier muss ich widersprechen. Wenn alle Spieler von
> Beginn des Spieles an um die gegebenen Würfel und ihre
> besonderen eigenschaften wissen, sind alle Würfel fair, egal
> wie sie beschaffen sind...jeder Spieler kann seine Strategie
> nach den würfeln auslegen. Unfair wird es nur, wenn die
> Spieler unterschiedliche würfel benutzen, oder um die
> eigenschaften der würfel nicht bescheid wissen.

Sorry, aber das trifft so einfach nicht für jedes Spiel zu. Auch bei Spielen, in denen jeder Spieler dieselben Würfel verwendet, kann ein unausgewogener Würfel zu Ungerechtigkeiten führen.
Beispiel gefällig? In Britannia benutzen alle Spieler dieselben Würfel. Ein Würfel, der vermehrt 6er wirft, benachteiligt die Römer (und somit die Farbe Lila) enorm, da die Römer nur bei 6er getroffen werden, selbst aber bei 4-6 treffen. Umgekehrt würden die Römer somit bei Würfeln, die 4 oder 5 häufiger zeigen, bevorzugt.
Strategisch kannst du daran gar nichts ändern.

Genausowenig wie du beim Siedler deine Strategie danach ausrichten kannst, wenn du als Vierter dran bist und selbstverständlich alle 3 möglichen Bauplätze um die einzige 12 herum schon belegt wird, weil jeder Mitspieler weiß, dass die Würfel fast nur 6er zeigen werden. Ganz abgesehen, dass ein Spiel wie Siedler auch darauf ausgelegt ist, dass manche Zahlen häufiger fallen als andere - statistisch gesehen - und das einzelne Spiel hiervon eben abweichen kann und nie die 8 fällt. Aber das führt jetzt vom Thema weg.

Grüße,
Bastl

[RedPiranha]

Ich denke jeder Körper ist ein fairer Würfel bei dem alle Senkrechten auf den Flächenmittelpunkten durch den Schwerpunkt laufen und es damit dem Zufall obliegt auf welche Seite ein Körper im labilen Gleichgewicht fällt.

[Martin Windischer]

Dann wirf mal einen Quader (am besten mit den Maßen 1*9*10)
Wenn er auf einer seiner größten Flächen liegenbleibt zahlst du mir 10 Euro, wenn er auf einer seiner kleinsten Flächen liegenbleibt zahl ich dir 10 Euro und bei den anderen 2 Flächen passiert nicht.
Einverstanden? :-)

[Günter Cornett]

RedPiranha schrieb:
>
> Ich denke jeder Körper ist ein fairer Würfel bei dem alle
> Senkrechten auf den Flächenmittelpunkten durch den
> Schwerpunkt laufen und es damit dem Zufall obliegt auf welche
> Seite ein Körper im labilen Gleichgewicht fällt.

Das ist eine Bedingung, die jeder Quader erfüllt. Aber auf den kurzen Flächen wird dieser trotzdem seltener landen. Die Flächen müssen also auch noch gleich groß sein und die gleiche Form haben, damit das hinkommt.

Insgesamt wäre das allenfalls eine hinreichende aber keine notwendige Bedingung. Man nehme eine n-Eckige Fläche (als Querschnitt) und wähle zwei Punkte auf der Mittelsenkrechten dieser Fläche als Endpunkt. Sind diese Punkte gleichweit von der Querschnittsfläche entfernt und besitzt jede Würfelseite genau zwei benachbarte Eckpunkte an der Grundfläche und einen dritten an einem der Endpunkte, ist er auch fair.

Wenn ich mich nicht ganz täusch verlaufen die Mittelsenkrechten mancher Flächen parallel, schneiden sich daher nicht im Schwerpunkt [allenfalls in der Unendlichkeit ;-)]

Und auch das ist nur eine hinreichende aber keinesfalls notwendige Bedingung für faire Würfel.

Ich behaupte: Würfel können auch dann noch fair sein, wenn die einzelnen Flächen unterschiedlich geformt sind. Es ist schwer zu berechnen, welche Form und Größe sie haben müssen, aber einfach nachzuweisen, dass es sie geben muss.

Die Behauptung kann ich durchaus beweisen, aber ich will hier niemanden den Spass am Rätseln verderben. ;-)

Gruß, Günter

[Arne Hoffmann]

Moin,

Günter Cornett schrieb:
> Ich behaupte: Würfel können auch dann noch fair sein, wenn
> die einzelnen Flächen unterschiedlich geformt sind. Es ist
> schwer zu berechnen, welche Form und Größe sie haben müssen,
> aber einfach nachzuweisen, dass es sie geben muss.

Zumal bisher immer implizit angenommen wurde, dass auf jeder Seite des Würfels eine andere Zahl steht. ;-)

Schöne Grüße

- Arne -

[RedPiranha]

Gab es nicht mal in den Anfangszeiten der Bundesliga ein Europapokalspiel, ich meine der 1. FC Karneval war daran beteiligt, bei dem der Sieger durch den Wurf einer Münze ermittelt wurde und beim ersten Wurf die Münze senkrecht im Rasen steckte? ;-)

[VolkiDU]

André Maack schrieb:
> Hat sich da zufällig schon einmal jemand Gedanken gemacht?

Alternative: (neben nur einen einzigen Würfel im Spiel)

Wer Zweifel an einen fairen Würfel hat, sollte vielleicht zwei identische Würfel unterschiedlicher Farben in einen Würfelbecher stecken und bevor aufgedeckt wird, entscheiden welche Farbe gespielt werden sollte.

Dann hat er einen Grund mehr sich zu freuen oder zu ärgern.

[Andreas Hallerbach]

Wobei die Würfel auch nur so lange fair sind, wie nicht in jede Seite eine verschiedene Anzahl Löcher gebohrt wird um sie zu nummieren. Denn das beeinflußt den Schwerpunkt des Würfels und so ist wahrscheinlich (bei oberflächlichem Nachdenken) die 6 wahrscheinlicher als die 1, weil die 1-Seite schwerer ist.

mfg
Andreas

[TRH]

Moin!

Wobei meines Wissens dieser Umstand von Produzenten von Würfeln berücksichtigt wird bei der Bohrung. Auf jeden Fall trifft dies auf Würfel zu, die in Casinos Verwendung finden.

Gruß Tom

[Roland G. Hülsmann]

Andreas Hallerbach schrieb:
>
> Wobei die Würfel auch nur so lange fair sind, wie nicht in
> jede Seite eine verschiedene Anzahl Löcher gebohrt wird um
> sie zu nummieren. Denn das beeinflußt den Schwerpunkt des
> Würfels und so ist wahrscheinlich (bei oberflächlichem
> Nachdenken) die 6 wahrscheinlicher als die 1, weil die
> 1-Seite schwerer ist.

Hm, also bei den Würfeln, die "Age Of Mythology" beiliegen (auch gebohrte Löcher), war dies zumindest bei meinen Würfen definitiv nicht der Fall!

Gruß
Roland (hatte an Silvester ziemlich deutlich verloren)

[Stefan-spielbox]

RedPiranha schrieb:
>
> Gab es nicht mal in den Anfangszeiten der Bundesliga ein
> Europapokalspiel, ich meine der 1. FC Karneval war daran
> beteiligt, bei dem der Sieger durch den Wurf einer Münze
> ermittelt wurde und beim ersten Wurf die Münze senkrecht im
> Rasen steckte? ;-)

In der Tat: 1965 in Rotterdam gegen den FC Liverpool verlor der FC Köln durch einen Münzwurf und verpasste damit den Einzug ins Halbfnale. Die Münze war zuvor im völlig durchweichtem Rasen senkrecht steckengeblieben...

Gruß,
Stefan (definitiv kein FC Köln Fan - nicht daß hier üble Gerüchte entstehen)