Rätsel Nr. 1

[Roman Pelek]

Hi zusammen,

da ihr ja gerne knobelt, habe ich mal ein paar nette Rätsel zusammengetragen, die zuletzt Schülern im Rahmen eines Mathematikwettbewerbs gestellt wurden. Ich hoffe, ihr habt Spaß daran, der Einfachheit halber teile ich die Rätsel wieder einzeln auf Postings, damit man bei den Antworten nicht die Übersicht verliert.

Hier also Rätsel Nr. 1 (ist recht einfach, wenn man drauf kommt):

Auf einem Tisch liegen 3125 Münzen, davon zeigen 877 Wappen, der Rest Zahl. Aufgabe ist es nun, mit verbundenen Augen die Münzen so in zwei Mengen zu teilen, dass in beiden Mengen gleich viele Münzen, die Wappen zeigen, vorhanden sind. Dabei ist es nur erlaubt, die Münzen zwecks Aufteilung zu verschieben bzw. abzuzählen oder umzudrehen, das Ertasten der oben liegenden Seite ist nicht erlaubt. Wie geht man vor?

Ciao,
Roman

[Marten Holst]

Moinle Roman,

lange mathematische Formeln ergeben ein kurzes Ergebnis, auf das man auch ohne Rechnen hätte kommen können.

> Auf einem Tisch liegen 3125 Münzen, davon zeigen 877
> Wappen, der Rest Zahl. Aufgabe ist es nun, mit verbundenen
> Augen die Münzen so in zwei Mengen zu teilen, dass in
> beiden Mengen gleich viele Münzen, die Wappen zeigen,
> vorhanden sind. Dabei ist es nur erlaubt, die Münzen zwecks
> Aufteilung zu verschieben bzw. abzuzählen oder umzudrehen,
> das Ertasten der oben liegenden Seite ist nicht erlaubt.
> Wie geht man vor?

Ich zähle 877 Münzen ab (dass meine Rechnungen 2248 ergeben haben, verrate ich nicht, geht aber natürlich vom Prinzip genau so, nur muss man für den nächsten Schritt den kleineren Stapel nehmen) und drehe sie alle um.

Waren es zufällig die 877 Wappen, so hatte der andere Stapel kein Wappen, und der eine auch nicht mehr, da ja alle weggedreht wurden.

War eine Zahl dabei, so war rechts ein Wappen.

Und so weiter.

Abgezählte Grüße
Marten (unrasiert)

[Roman Pelek]

Hi Marten,

exakt so geht's. Das war dann mal der eher einfache Aufwärmer, lange hat er ja nicht gehalten :-)

Ciao,
Roman

[Marco Aschwanden]

Könntest du mal diesen "Algorithmus" weiter ausführen. Irgendwie überfordert mich diese Erklärung... Vielleicht kann man das Beispiel auf einen Münzhaufen mit 23 Münzen und 3 Wappen davon erklären. Die mathematische Herleitung würde mich auch interessieren.

Sorry, dass ich zu dumm bin für deinen Lösungsvorschlag. Aber selbst ein mathematisch geschulter hinter mir, konnte mir den Vorgang nicht erklären.
Gruss,
Marco

[Marten Holst]

Moinle Marco,

Du hast m Münzen, w zeigen Wappen, z zeigen Zahl (ich nehme mal an, dass w
Wenn Du nun einen Haufen mit w Münzen (also genau der Anzahl der Wappenmünzen) nimmst, so ist in diesem eine unbekannte Zahl x an Münzen mit "Wappen" oben. Alle anderen Münzen dieses Haufens haben die Zahl oben, und das sind w-x.

Im anderen Haufen sind die Restmünzen, also alle Münzen, die nicht im ersten Haufen sind. Insgesamt hatten wir w Wappenmünzen, x davon sind im ersten Haufen, es verbleiben w-x für den zweiten Haufen.

Wir haben also im einen Haufen so viele Zahlen wie im anderen Wappen. Wenn wir nun Haufen eins (den kleineren) umdrehen, so werden aus den w-x Zahlen w-x Wappen, genau so viele, wie im anderen Haufen.

Zahlreiche Grüße
Marten (kennt nicht einmal sein Familienwappen)

[Marco Aschwanden]

Arrrggghhhh, sorry, jetzt lag ein Mammut auf unserer Leitung. Wir wollten GLEICH grosse Haufen machen... und darum dachten wir, man müsste jedes mal 877 Münzen nehmen und umdrehen. Welches wäre dann aber der kleinere und welches der grössere Haufen? etc. Sorry! Wirklich ein grobes Missverständnis: Die Haufen müssen am Ende ja nicht gleich gross sein.

Wahrscheinlich wäre die Aufgabe (am Ende müssen gleich grosse Haufen vorhanden sein) gar nicht lösbar. Oder?

[Marten Holst]

Moinle,

> Arrrggghhhh, sorry, jetzt lag ein Mammut auf unserer
> Leitung. Wir wollten GLEICH grosse Haufen machen... und
> darum dachten wir, man müsste jedes mal 877 Münzen nehmen
> und umdrehen. Welches wäre dann aber der kleinere und
> welches der grössere Haufen? etc. Sorry! Wirklich ein
> grobes Missverständnis: Die Haufen müssen am Ende ja nicht
> gleich gross sein.
>
> Wahrscheinlich wäre die Aufgabe (am Ende müssen gleich
> grosse Haufen vorhanden sein) gar nicht lösbar. Oder?

Naja, wenn am Anfang gleich viele Zahlen und Wappen da sind, ist sie lösbar, wenn die Gesamtmünzenzahl ungerade ist (wie hier), ist die Aufgabe definitiv nicht lösbar, und sonst? Ich tippe eher auf "nein", wenn man nicht mit verrutschten Brillen oder ähnlichem arbeiten will.

Gleich große Grüße
Marten (mag malliterationen)