Hypothetisches Waagenspiel

[peer]

Hallo,

Ich habe gestern mal nicht schlafen können und über ein kleines Problem nachgedacht:
Angenommen man hätte eine Balkenwaage und die Spieler haben dieselben Gewichte. Die Gewichte sind so gewählt, dass verschiedene Zusammensetzungen verschiedene Gewichte ergeben (also z.B. 1, 3 und 10 und 20, nicht aber 25, 50, 75 und 100, da 25+100= 50+75).

Die Spieler wählen nun gleichzeitig ein Gewicht aus und legen es auf die Waage. Das wiederholen sie mit den übrigen Gewichten.
Natürlich ist die Waage am Ende ausgeglichen.

Wie groß ist aber nun die Wahrscheinlichkeit dass bereits vorher die Waage mal ausgeglichen ist?

Ich hätte gedacht, dass die Wahrscheinlichkeit abhängig von der Anzahl der Gewichte ist, aber wenn meine Überlegungen gestern abend richtig sind, beträgt sie bei 2, 3 und 4 Gewichten jeweils 50%!

Ist das richtig? Kann man irgendwie beweisen (oder schlüssig erklären) warum das für jede Anzahl an Gewichten stimmt?

ciao
peer

[Günter Cornett]

peer schrieb:
>
> Hallo,
>
> Ich habe gestern mal nicht schlafen können und über ein
> kleines Problem nachgedacht:
> Angenommen man hätte eine Balkenwaage und die Spieler haben
> dieselben Gewichte. Die Gewichte sind so gewählt, dass
> verschiedene Zusammensetzungen verschiedene Gewichte ergeben
> (also z.B. 1, 3 und 10 und 20, nicht aber 25, 50, 75 und 100,
> da 25+100= 50+75).
>
> Die Spieler wählen nun gleichzeitig ein Gewicht aus und legen
> es auf die Waage. Das wiederholen sie mit den übrigen
> Gewichten.
> Natürlich ist die Waage am Ende ausgeglichen.
>
> Wie groß ist aber nun die Wahrscheinlichkeit dass bereits
> vorher die Waage mal ausgeglichen ist?
>
> Ich hätte gedacht, dass die Wahrscheinlichkeit abhängig von
> der Anzahl der Gewichte ist, aber wenn meine Überlegungen
> gestern abend richtig sind, beträgt sie bei 2, 3 und 4
> Gewichten jeweils 50%!

Die Wahrscheinlichkeit beträgt
bei 3 Gewichten imho 66,6...%
bei 4 Gewichten imho 70,83..%

Bei 3 Gewichten
beträgt die Wahrscheinlichkeit, dass die Waage im ersten Zug ausgeglichen ist 33,3..%.
Wenn die Waage nicht ausgeglichen ist, beträgt die Wahrscheinlichkeit im zweiten Zug 50% (von 66,6..%), also wieder 33,3..%

Bei 4 Gewichten:
Im ersten Zug: 25%
Im zweiten Zug 33,3..% von den verbliebenen 75%: 25%
Also 50% Wahrscheinlichkeit, dass sie im ersten oder zweiten Zug ausgeglichen ist

Jetzt muss man unterscheiden, ob zu diesem Zeitpunkt auf beiden Seiten nur verschiedene Gewichte liegen oder jeweils eines gleich ist. Im ersten Fall (der imho mit 1/6-Wahrscheinlichkeit auftritt) liegt die Wahrscheinlichkeit bei 0%, im zweiten bei 50% von den übrigen beiden das passende Gewicht zu ziehen: 0,5 x 0,5x 5/6 =20,83..%

Ich hoffe, ich habe da keinen Denkfehler drin.



> Ist das richtig? Kann man irgendwie beweisen (oder schlüssig
> erklären) warum das für jede Anzahl an Gewichten stimmt?


Ich denke, dass die Wahrscheinlichkeit bei einer höheren Anzahl von Gewichten irgendwann rapide nach unten geht. Wenn du 1 Million Gewichte hast, gibt es zwar viele Möglichkeiten, dass auf beiden Seiten exakt die selben Gewichte liegen, aber die Anzahl der Möglichkeiten, dass es nicht so ist, steigt viel stärker. Dabei wundert es mich aber, dass die Wahrscheinlichkeit bei 3 Gewichten geringer ist als bei 4.

Gruß, Günter

[Malte Kiesel]

Günter Cornett schrieb:

> Bei 3 Gewichten
> beträgt die Wahrscheinlichkeit, dass die Waage im ersten Zug
> ausgeglichen ist 33,3..%.
> Wenn die Waage nicht ausgeglichen ist, beträgt die
> Wahrscheinlichkeit im zweiten Zug 50% (von 66,6..%), also
> wieder 33,3..%

Zustimmung für den ersten Zug, aber im zweiten sehe ich das anders. Wenn die Gewichte A (Spieler 1) und B (Spieler 2) auf der Waage liegen, gibt es 4 Möglichkeiten, wie die weiteren Gewichte dazukommen (zuerst Spieler 1, dann Spieler 2)

B A
B C
C A
C C

Nur in einem Fall (hier B A) sind die Waagschalen ausgeglichen. Das sind also 25%. Hinzu kommen die 33% aus dem ersten Zug, macht also eine Gesamtwahrscheinlichkeit von 58%.

Mit ähnlichen Überlegungen komme ich auf 69% bei 4 Gewichten. Aber eine allgemeine Formel für jede Anzahl von Gewichten kann ich nicht liefern, dafür liegt meine praktische Erfahrung mit Wahrscheinlichkeitsrechnung zu weit zurück... :-)

[peer]

Hi,
Meine Überlegung gingso:
Ohne Beschränkung der Allgemeinheit gehe ich mal davon aus dass Spieler 1 A B C wählt. Betrahten wir nun Spieler 2
Wählt er ebenfalls A (1/3) ist die Waage ausgeglichen
Wählt er B beim ersten Mal, so gibt es eine 50% Chance dass er beim zweiten Versuch A auswählt und die Waage ausgleicht. 1/3*1/2 = 1/6

Wählt er C, kann er wählen was er will, er wird die Waage nicht ausgleichen können.

Damit beträgt die Chance 1/3 + 1/6 = 1/2
Oder?

ciao
peer

[Günter Cornett]

peer schrieb:
>
> Hi,
> Meine Überlegung gingso:
> Ohne Beschränkung der Allgemeinheit gehe ich mal davon aus
> dass Spieler 1 A B C wählt. Betrahten wir nun Spieler 2
> Wählt er ebenfalls A (1/3) ist die Waage ausgeglichen
> Wählt er B beim ersten Mal, so gibt es eine 50% Chance dass
> er beim zweiten Versuch A auswählt und die Waage ausgleicht.
> 1/3*1/2 = 1/6

Ja stimmt.

Wobei ich deine Herangehensweise etwas verwirrend finde. :)



Spieler 1 Kleinbuchstabe, Spieler 2 Grossbuchstabe.
Die Gewichte, die Spieler 1 legt, definiere ich als
a (1.Runde)- b(2.Runde) - c(3.Runde)

1.R ---- 2.Runde
a-A ---- b-B oder b-C

a-B ---- b-A oder b-C
oder
a-C ---- b-A oder b-B

Daher haben wir oben alle möglichen Fälle.
In einem Drittel der Fälle gibt es ein Gleichgewicht in der ersten Runde.
Wenn es in der ersten Runde kein Gleichgewicht gibt, also in zwei Drittel der Fälle gibt es eine 25%ige Chance für ein Gleichgewicht in der zweiten Runde.



> Wählt er C, kann er wählen was er will, er wird die Waage
> nicht ausgleichen können.
>
> Damit beträgt die Chance 1/3 + 1/6 = 1/2
> Oder?

Jo, hast recht.

Gruß, Günter

[Martin Windischer]

Das dürfte dieser Folge entsprechen:

http://www.research.att.com/~njas/sequences/A003319

Für die Wahrscheinlichkeiten einfach 1-a(n)/n! ausrechnen.

[Malte Kiesel]

Jetzt steige ich aus, das wird mir zu wissenschaftlich... :-) Grundsätzlich juckt es mir ja bei solchen Aufgaben in den Fingern, aber dann muss ich auch immer wieder feststellen, dass man entweder mehr mathematische Grundlagen oder viel mehr Zeit braucht... und beides ist knapp, zumal ich langsam die Koffer für Nürnberg packen muss... :-)

Malte