Memoryproblem

[Martin]

Hallo,

gestern habe ich mit meiner Frau die Frage diskutiert, welches Memory einfacher ist - eins mit Paaren oder eins mit Drillingen. Für die Drillinge spricht, dass man ja einmal mehr aufdecken darf. Dagegen spricht, dass man sich da auch mehrmals irren kann.

Kann uns da jemand aus der Mathematikerfraktion helfen?

Vielen Dank schon einmal

Martin

[Andreas Keirat]

Moin!

Als Nicht-Mathematiker würde ich sagen, das hängt stark von den Pärchen bzw. Drillingen und der Ausgangslage ab.

Habe ich 6 Kärtchen, ist die Wahrscheinlichkeit eines Drillings recht hoch, verglichen mit dem Finden eines Paares, wenn ich 64 Kärtchen zu Grunde lege.

Ich denke, Du meinst also die Wahrscheinlichkeiten, einen Zwilling oder Drilling zu treffen, wenn entsprechend gleich viele Kärtchen ausliegen (also z.B. 64 Stück) ausliegen, oder?

Soll man dabei den allerersten Zug simulieren (ohne Infos über ausliegende Motive zu haben) oder kennst Du schon einige Motive?

Ciao,

Andreas Keirat
www.spielphase.de

[Weltherrscher]

Martin schrieb:
>
> Hallo,
>
> gestern habe ich mit meiner Frau die Frage diskutiert,
> welches Memory einfacher ist - eins mit Paaren oder eins mit
> Drillingen. Für die Drillinge spricht, dass man ja einmal
> mehr aufdecken darf. Dagegen spricht, dass man sich da auch
> mehrmals irren kann.
>
> Kann uns da jemand aus der Mathematikerfraktion helfen?
>
> Vielen Dank schon einmal
>
> Martin

Bei gleicher Anzahl der Karten müsste es einfacher sein drei gleiche zu finden, als ein Paar.

Also jetzt rein durch Zufall.

Beispiel 12 Karten : 4*Drillinge gegen 6 Paare

Wahrscheinlichkeit zufällig 3 gleiche aufzudecken liegt bei 1/4.
Die Wahrscheinlichkeit für ein Paar liegt bei 1/6

Das ist für jede beliebige Anzahl von Karten so, wobei sich je größer die Anzahl ist,die Werte sich annähern.

Es dürfte aber für einen Menschen schwieriger sein sich 3 gleiche Karten zu merken, statt nur 2.

[Folmion]

Das ist aber wirklich sehr falsch ;)

Nehmen wir dein Beispiel mit 12 Karten. Nachdem du eine Karte zufällig gezogen hast, bleibt bei den Paaren eine Wahrscheinlichkeit von 1 zu 11, das du die gleiche Karte nochmal ziehst.
Bei Drillingen hast du bei der zweiten Karte eine Chance von 2 zu 11, das du die gleiche Karte nochmal ziehst. Und danach noch eine Chance von 1 zu 10, die letzte richtige Karte zu ziehen. Diese Wahrscheinlichkeiten musst du dann multiplizieren. Damit besteht eine Chance von 1 zu 55 alle drei Karten eines Drillings ohne Vorkenntnisse zufällig zu ziegen. Bei Paaren hat man eine Chance von 1 zu 11.

Und bei größeren Kartenzahlen wird der Unterschied zwischen Paaren und Drillingen größer ;)


Viele Grüße,
Florian

[Weltherrscher]

Folmion schrieb:
>
> Das ist aber wirklich sehr falsch ;)
>

Ja, sogar so falsch das ich eben nochmal einige Zeit gebraucht hab, bis ich meine eigene Logik nachvollziehen konnte.

Hab mich von Andreas Bemerkung aufs Glatteis führen lassen, und hab statt zu rechnen "geschätzt" ;)

[gimli043]

mathematisch: Es liegen N Karten aus

Fall 1: Die N Karten bestehen nur aus Zwillingen

Zunächst ziehe ich eine Karte.
Dann sind also noch N-1 Karten da, von denen nur eine passend ist. Die Wahrscheinlichkeit genau diese zu ziehen ist also 1/N-1.
Die Wahrscheinlichkeit in N Karten ein Paar zu finden ist also P_2 = 1 / N-1.

Fall 2. Die N Karten bestehen nur aus Zwillingen
Zunächst ziehe ich eine Karte
Dann sind also noch N-1 Karten da, von denen nur zwei passend sind. Die Wahrscheinlichkeit eine von diesen zu ziehen ist also 2/N-1.
Nun sind noch N-2 Karten da, von denen nur eine passend ist. Die Wahrscheinlichkeit diese zu ziehen ist also 1 / N-2.
Die Wahrscheinlichkeit in N Karten einen Drilling zu finden ist also P_3 = 2 / ((N-1)*(N-2))

für N = 6 gilt: P_2 = 1/5 und P_3 = 1/10. Also ist es bereits hier leichter ein Paar zu finden.
Für N > 6 gilt: Für n -> oo läuft 1/N² schneller gegen 0 als 1 / N. Also ist P_2 > P_3 für alle N > 6.

Viele Grüße,

Rene'

[peer]

Hi,
ich stimme zu. Allerdings gibt es einen kleinen Einwand:
Die Rechnung stimmt nur am Anfang. Später kent man ja mehr Karten und wer drei Karten aufdeckt, weiss potentiell besser bescheid, als einer mit zwei Karten.
Ich denke dass der Informationsvorsprung irgendwann das Glück "Zufällig drei richtige bekommen" einholen würde, wenn man sich den Kram denn merken könnte :-)
ciao
peer

[Martin]

peer schrieb:
>
> Hi,
> ich stimme zu. Allerdings gibt es einen kleinen Einwand:
> Die Rechnung stimmt nur am Anfang. Später kent man ja mehr
> Karten und wer drei Karten aufdeckt, weiss potentiell besser
> bescheid, als einer mit zwei Karten.
> Ich denke dass der Informationsvorsprung irgendwann das Glück
> "Zufällig drei richtige bekommen" einholen würde, wenn man
> sich den Kram denn merken könnte :-)
> ciao
> peer

Vielen Dank für Eure umfangreichen Überlegungen. Den Gedanken von Peer hatte ich auch, so dass sich das Problem vermutlich nicht allein mathematisch lösen lässt...

Wir werdens noch mal ausprobieren

Martin

[peer]

Hi,
oh man könnte schon... man müsste nur eine Wahrscheinlichkeit dafür definieren, dass man eine Karte, deren Position man kennt auch wirklich trifft (sagen wir 70%) und kann dann eine Funktion aufstellen, bei der x die Anzahl der Karten ist...
Aber das ist mir im Moment etwas zu viel Arbeit ;-)

ciao
peer

[Thygra]

peer schrieb:
> Ich denke dass der Informationsvorsprung irgendwann das Glück
> "Zufällig drei richtige bekommen" einholen würde, wenn man
> sich den Kram denn merken könnte :-)

Ich denke das nicht. Meines Erachtens bleibt es IMMER leichter, ein Paar zu finden als einen Drilling - außer du kannst dir ALLES zu 100% merken. In dem Fall wirst du keinen Fehler machen, also sind Paar und Drilling für dich gleich leicht.

Wenn du aber von 100 Kärtchen nur 99 merken kannst, dann hast du bei einem Paar für das zweite Kärtchen eine Trefferwahrscheinlichkeit von 99%. (Das erste Kärtchen ist egal, weil es nie falsch sein kann.) Bei einem Drilling musst du aber nach dem erstn Kärtchen noch zwei weitere passende erwischen, also 99% x 99% rechnen, triffst also nur noch zu 98,01%.

Ich denke, das reicht als Herleitung schon aus. Eine Abhängigkeit zur Gesamtzahl der Kärtchen dürfte daran nichts ändern.