Beitragvon Peter Nos » 10. Januar 2006, 17:41
Hallo Thomas,
auch wenn ich kein Mathematiker bin, aber momentan leider vom aktivem Spielen abgehalten werde, äußere ich mich gerne zu solchen, mehr oder weniger überflüssigen Problemen. (Auch wenn es vielleicht niemanden interessiert.)
In der Tat ist die Frage nicht so einfach zu beantworten. Nach einigen Überlegungen kam ich zu einem Satz auch 8 Differenzengleichungen mit nichtkonstanten Koeffizienten, deren Lösung mir zu mühselig war (es würde sicherlich mit geschickt gewählten Erzeugendenfunktionen gehen...). Ich habe sie deshalb lieber von Excel für bis zu 50 Lose lösen lassen. Heraus kam:
33 Lose: 89,1%
34 Lose: 90,5%
Dies erscheint ziemlich viel, liegt aber daran, daß 90% schon im Sättigungsbereich der Funktion liegt. 67% Wahrscheinlichkeit hast du immerhin schon mit 24 Losen. Bei 50 Losen ist man dann bei 99%.
Anschaulich kann man es sich so überlegen, daß die Chance ziemlich hoch ist direkt 4-5 verschiedene Lose zu kaufen, dann aber die Wahrscheinlichkeit steigt, erstmal eines ein zweites Mal zu bekommen. Denn es gibt dann weniger fehlende als schon gekaufte Farben. Kauft man noch mehr Lose, so wird es auch sehr wahrscheinlich ein Farbe zum dritten, vierten usw. Male zu bekommen, bevor die siebte oder achte Farbe gezogen wird.
Ich finde das schon erstaunlich.
Viele Grüße,
p.
P.S.:
Jetzt muss ich noch einen dummen Kommentar abgeben:
Dies ist ein hübsches Beispiel dafür, dass gleichwahrscheinliche Ereignisse bei vielen Wiederholungen nicht gleichhäufig vorkommen werden. (S.a. den schlecht recherchierten Artikel über Wahrscheinlichkeiten in der letzten Spielbox.) Sobald mehrere Farben gleichhäufig gezogen wurden steigt die Wahrscheinlichkeit als nächstes gerade eben eines dieser Lose zu bekommen. Nur die Relative Abweichung (Anzahl Lose einer Farbe / Anzahl der gekauften Lose) sollte sinken. Die absolute Abweichung | Anzahl Lose einer Farbe - Anzahl der Lose / 8 | wird sogar divergieren, nur eben recht langsam.
Dies ist gerade der Reiz von Spielen mit einem gewissen Glücksfaktor. Für Spieler und vielleicht auch Autoren ist es deshalb durchaus interessant sich mit solchen Nichtgleichgewichtsproblemen zu beschäftigen.
Man sollte sich während des Spiels, auch wenn sehr, sehr häufig gewürfelt wird, niemals aufs Gesetz der großen Zahlen verlassen, da Würfel halt so vergesslich und nicht sonderlich nachtragend sind.