Geometrisches Kugelproblem

[Weltherrscher]

Bin bei einem Rätsel auf folgende Frage gestoßen, die sich dann als nicht ganz so trivial herausgestellt hat.

Wieviel Kugeln mit dem Durchmesser 6 cm passen in eine Kiste der Größe 35*37*65 cm.

Zuerst kam ich auf 300, indem ich einfach Quader annahm , also 5*6*10. Das hat sich dann aber als falsch herausgestellt.

Mein 2. Ansatz das Volumen der Kugeln, durch das Volumen zu teilen führte zu einem Ergebnis von ungefähr 744,25.

Laut der Lösung ist allerdings ungefähr 550 richtig, was sich ergibt wenn man die Anzahl von 744,25 multipliziert mit 74% was der dichtesten Kugelpackung entspricht.

http://de.wikipedia.org/wiki/Dichteste_Kugelpackung

Um die Verwirrung zu vervollständigen liegt laut dem folgenden Link der praktisch erreichbare Wert bei ungefähr 63%


http://www.g-o.de/wissen-aktuell-8308-2008-06-03.html


Naja, meine hauptsächliche Frage dazu ist, wie kommt die Abweichung von 300 zu 550 zustande, das will mir irgendwie nicht in den Kopf,dass man Kugeln so anordnen kann, dass diese den Wert von Quadern so deutlich übersteigen, vor allem wo die Maße des Kartons so ungünstig sind, also nicht genau aufgehen.

Für erhellende Erläuterungen wäre ich dankbar. :)

[Kudde]

Weltherrscher schrieb:
>
> Naja, meine hauptsächliche Frage dazu ist, wie kommt die
> Abweichung von 300 zu 550 zustande, das will mir irgendwie
> nicht in den Kopf,dass man Kugeln so anordnen kann, dass
> diese den Wert von Quadern so deutlich übersteigen, vor allem
> wo die Maße des Kartons so ungünstig sind, also nicht genau
> aufgehen.
>

Ich glaube du unterschätzt, wie viel kleiner eine Kugel gegenüber einem Quader oder Würfel ist. Am einfachsten ist es, wenn man sich vor Augen hält, dass das Volumen einer Kugel gegenüber einem Würfel, wenn Durchmesser und Kantenlänge gleich sind, nur ca. halb so groß ist.

Kudde

[Weltherrscher]

Kudde schrieb:
>
> Ich glaube du unterschätzt, wie viel kleiner eine Kugel
> gegenüber einem Quader oder Würfel ist. Am einfachsten ist
> es, wenn man sich vor Augen hält, dass das Volumen einer
> Kugel gegenüber einem Würfel, wenn Durchmesser und
> Kantenlänge gleich sind, nur ca. halb so groß ist.
>
> Kudde

Ja, das stimmt natürlich. Das ist mir auch bewußt, aber geometrisch scheint mir das nicht ganz hinzuhauen.

Wenn die Masse der Kiste vielfache des Durchmessers der Kugel wären, würde mir das auch eher einleuchten. So habe ich das Gefühl, es müsste deutlich mehr Verschnitt geben.

Weil die optimale Anordnung der Kugeln, so das jede Kugel 12 Nachbarn hat, unter diesen Bedingungen ja nicht gegeben ist.

[Thargor]

Wenn Du Quader annimmst, dann stehen die jeweils übereinander, bei Kugel befindet sich die zweite Ebene aber leicht seitlich versetzt und damit "rustschen" sie deutlich tiefer als die Quader. Das finde ich anschaulich sofort einleuchtend ...

[gimli043]

... so hätte ich es auch erklärt. Du packst die Kugeln eben nicht wie Quader immer genau übereinander.

Wenn Du den Schachtelboden mit Kugeln aufgefüllt hast und wirfst dann neue Kugeln hinein, dann Rollen die automatisch in die Kuhlen und bilden so eine neue versetze Ebene, die aber eben nicht vollständig oberhalb der andern Kugelebene liegt, wie das bei Quadern der Fall wäre. (Ebene ist hier nicht mathematisch korrekt, aber ich hoffe es ist klar was gemeint ist.)

[Weltherrscher]

Thargor schrieb:
>
> Wenn Du Quader annimmst, dann stehen die jeweils
> übereinander, bei Kugel befindet sich die zweite Ebene aber
> leicht seitlich versetzt und damit "rustschen" sie deutlich
> tiefer als die Quader. Das finde ich anschaulich sofort
> einleuchtend ...

Ja gut, wenn man es sich so vorstellt dann wird es verständlicher. Aber im konkreten Fall ist die Kiste doch so ungünstig geschnitten, dass die Zahl der Kugeln doch geringer sein müsste. Nicht proportional geringer zur Anzahl der Quader, aber doch nicht die maximale Anzahl laut Volumen.

Gibts dafür eine Annäherungsformel. oder ist das wie in dem einem Artikel beschrieben reine Erfahrungswertsache?

[Volker L.]

Weltherrscher schrieb:
>
> Aber im konkreten Fall ist die Kiste doch so
> ungünstig geschnitten, dass die Zahl der Kugeln doch
> geringer sein müsste. Nicht proportional geringer zur
> Anzahl der Quader, aber doch nicht die maximale Anzahl
> laut Volumen.

Ist sie ja auch. Diese Sache mit der Kiste ist doch der
Grund für die von Dir selbst ja schon im Ausgangsposting
erwähnte Diskrepanz zwischen den 74% bei rechnerisch
dichtester Kugelpackung und den in der Praxis erreichbaren
63%. ;-)

Gruß, Volker

[Weltherrscher]

Volker L. schrieb:
>
> Weltherrscher schrieb:
> >
> > Aber im konkreten Fall ist die Kiste doch so
> > ungünstig geschnitten, dass die Zahl der Kugeln doch
> > geringer sein müsste. Nicht proportional geringer zur
> > Anzahl der Quader, aber doch nicht die maximale Anzahl
> > laut Volumen.
>
> Ist sie ja auch. Diese Sache mit der Kiste ist doch der
> Grund für die von Dir selbst ja schon im Ausgangsposting
> erwähnte Diskrepanz zwischen den 74% bei rechnerisch
> dichtester Kugelpackung und den in der Praxis erreichbaren
> 63%. ;-)
>
> Gruß, Volker

Ok, dann fühl ich mich mal bestätigt, das die Antwort in dem Rätsel falsch ist. Die Zahl müsste also unter 550 liegen.

Danke für die Antworten.

[Kudde]

Weltherrscher schrieb:
>
>
> Weil die optimale Anordnung der Kugeln, so das jede Kugel 12
> Nachbarn hat, unter diesen Bedingungen ja nicht gegeben ist.

Du hast natürlich recht. Wenn man mit den 74% rechnet, lässt man den Rand außer Acht. Dies wurde bestimmt bei der Aufgabe zur Vereinfachung gemacht. Ich glaube nämlich nicht, dass die exakte Lösung einfach zu berechnen ist.

Kudde

[Weltherrscher]

Kudde schrieb:
>
> Weltherrscher schrieb:
> >
> >
> > Weil die optimale Anordnung der Kugeln, so das jede Kugel 12
> > Nachbarn hat, unter diesen Bedingungen ja nicht gegeben ist.
>
> Du hast natürlich recht. Wenn man mit den 74% rechnet, lässt
> man den Rand außer Acht. Dies wurde bestimmt bei der Aufgabe
> zur Vereinfachung gemacht. Ich glaube nämlich nicht, dass die
> exakte Lösung einfach zu berechnen ist.
>
> Kudde

Das denke ich auch nicht, ich vermute mal die Ersteller der Frage haben darüber auch nicht nachgedacht. :)