Frage an den Mathematiker

[Thomas O.]

Hallo,

vielleicht kann mir jemand eine Lösung für mein Problem anbieten:

4 Spieler agieren unter unterschiedlichen Bedingungen (Stärkepunkte), sagen wir 40, 35, 27 und 22.

Während des Spiels soll ein Gesamtertrag so auf die Spieler verteilt werden, dass die unterschiedlichen Stärkepunkte berücksichtigt werden, z.B. ein Ertrag von 200 Gold.

Spieler A (mit 40 Stärkepunkten) soll entsprechend weniger bekommen als jemand mit weniger Stärkepunkten, da Spiele A ja mit besseren Bedigungen zur Erreichung des Gesamtertrags von 200 Gold beigetragen hat.

Wie kann man in diesem Beispiel die 200 Gold auf die 4 Spieler entsprechend der Stärkepunkte 40, 35, 27 und 22 verteilen?

Mein Ansatz war, einen Faktor für jeden Spieler zu berechnen nach der Formel "Mittelwert/Stärkepunkt" und diesen Faktor mit 50 Gold für jeden Spieler zu multiplizieren.

Bei einem Mittelwert von 31 Stärkepunkten komme ich auf die Verteilung
38,75 Gold für A
44,29 Gold für B
57,41 Gold für C
70,45 Gold für D

Das Problem ist, dass die Summe 210,9 Gold beträgt und nicht 200 Gold.

Was mache ich falsch? Hat jemand einen besseren Ansatz?

Danke schön!!

Thomas

[Robert Vötter]

Leider kann ich dir bei diesem Problem jetzt nicht helfen.

Mich würde nur interessieren, warum jemand, mit einer großen Stärke, weniger Gold bekommen sollte als ein schwacher ?

Er leistet mehr und soll deswegen weniger bekommen ?

Gruß
Robert

[Hammer]

Hallo Thomas!

Ist der Ertrag (auszuschüttende Summe in Gold) abhängig von den ausgelegten Stärkepunkten aller Spieler oder werden immer 200 Gold ausgezahlt?

Sollen die Spieler etwa rechnen? :-)

Welchen Wert haben die Stärkepunkte im Spiel? Mehr Aktionen?
Oder anders gefragt: Kann man sie in Gold umrechnen.

Ich würde Dir folgenden Mechanismus vorschlagen:

Du druckst auf die Karte den Stärkewert und den Goldwert, den es dafür gibt. Evtl. noch den Wert, den alle anderen Spieler erhalten.

Viele Grüße, Hammer []==

[Heinrich Glumpler]

Hi,

ich würde es mit einem Dreisatz versuchen:

Das Gold, das mir zusteht, entspricht meiner "Schwäche". Je schwächer ich bin, desto mehr bekomme ich aus dem Topf.

Meine Schwäche entspricht der Differenz der aufsummierten Stärke abzüglich meiner Stärke.

Wenn sich die "Stärke" also wie folgt verteilt:
A: 40
B: 35
C: 27
D: 22
ergibt das eine Gesamtstärke von 124 und damit folgende "Schwächen" für die Spieler:
A: 84
B: 89
C: 97
D: 102

Der Anteil, der mir zusteht, soll höher ausfallen, je schwächer ich bin, d.h., meinem Anteil an der Gesamtschwäche entsprechen:

"Mein Gold" zu "Gesamtgold" = "Meine Schwäche" zu "Gesamtschwäche"

Spieler C z.B.:

"Gold für C" zu "200 Gold" = 97 zu 372
also
"Gold für C" = (97 / 372) * 200 = 52,15 (auf zwei Stellen)

Für alle Spieler ausgerechnet (auf zwei Stellen):
A: 45,16
B: 47,84
C: 52,14
D: 54,83

In der Summe: 199,97 (ca. 200)

Der wesentliche Unterschied zu deinem Ansatz - du musst die Stärke zunächst in "Schwäche" umrechnen.

Alles auf die Schnelle und ohne Gewähr.

Grüße
Heinrich

[Thomas O.]

Hallo Robert,

weil er die Stärke nicht nur für das Schürfen von Gold einsetzt, sondern im gesamten Spiel gewinnbringend einsetzen kann (für sich alleine). Er "bezahlt" seine große Stärke, die er sich freiwillig erworben hat, quasi damit, dass er bei einem Kollektivertrag verhältnismäßig geringer profitiert.

Gruß, Thomas

[kaie]

Hallo Thomas,

bilde zuerst die Summe aus den Kehrwerten aller Stärkepunkte:

1/40 + 1/35 + 1/27 + 1/22 = 2263/16632 = 0.13606

Teile Deinen Gesamtbetrag nun durch dieses Ergebnis:

200 / 0.13606 = 1469.907

Diesen Wert musst Du nun nur noch durch die einzelnen Stärkepunkte dividieren, um Deine gesuchte Goldverteilung zu erhalten:

1469.907 / 40 = 36.748 =~ 37
1469.907 / 35 = 41.997 =~ 42
1469.907 / 27 = 54.441 =~ 54
1469.907 / 22 = 66.814 =~ 67

Kontrollrechnung: 37 + 42 + 54 + 67 = 200

Bei anderen Werten kann es durch Rundungsfehler dazu kommen, dass die Summe nicht dem zu verteilenden Betrag entspricht. Dann musst Du abrunden und die fehlenden Punkte der Reihe nach an die Spieler mit den höchsten Nachkommastellenanteilen verteilen.

Ich hoffe, das hilft Dir weiter. Für ein Brettspiel finde ich den Mechanismus aber vielleicht ETWAS zu kompliziert! :-)

Schönen Gruß!

Kai E.

[Thomas O.]

Vielen Dank, Heinrich, das hört sich sehr gut an!
:-)

[Glomeor]

Hallo Heinrich,

Du bist mir genau 6 Minuten zuvor gekommen. Ich habe gerade den gleichen Ansatz mit den gleichen Ergebnissen hier vor mir auf dem Zettel.

Tobias

[Thomas O.]

Danke, Kai! Das hilft mir weiter!
:-)

[Heinrich Glumpler]

Hi,

wie du an Kaies Antwort sehen kannst (im Vergleich zu meiner Antwort), musst du dir erst mal darüber klar werden, was "Schwäche" bedeutet. Kaie nimmt die Kehrwerte der Stärkewerte - während ich den prozentualen Anteil an Gesamtstärke bzw. -schwäche verwendet.

Ich würde allerdings auch empfehlen, diese "Rechnerei" im Spiel zu "verstecken" ;-).

Grüße
Heinrich

[Heinrich Glumpler]

:grins:

Ich hab's einfach eingetippt und erst am Ende gecheckt, ob meine Lösung stimmt (um mich nicht zu blamieren) - spart Zeit ;-)

Grüße
Heinrich

[Thomas O.]

Hammer schrieb:
>
> Hallo Thomas!
>
> Ist der Ertrag (auszuschüttende Summe in Gold) abhängig von
> den ausgelegten Stärkepunkten aller Spieler oder werden immer
> 200 Gold ausgezahlt?

Nein, das auszuschüttene Gold schwankt, so zwischen 50 und 250 Gold, ist aber nicht abhängig von den Stärkepunkten.

Ich möchte nur ein Korrektiv haben, das den Spieler, der eh schon viel Stärke angesammelt hat (das er an anderen Stellen im Spiel nutzt), bei der Verteilung eines Gruppenertrags etwas "ausbremst". So muss ich als Spieler ständig vor dem Dilemma stehen "Viel Stärke ansammeln und als Individuum fett abräumen können" oder "Besser weniger Stärke ansammeln und dafür viel Gruppengold schürfen, von dem ich stärker als die Mitspieler profitiere".

Ich halte das für einen reizvollen Ansatz.

> Sollen die Spieler etwa rechnen? :-)

Besser nicht, da hast du recht!

> Welchen Wert haben die Stärkepunkte im Spiel? Mehr Aktionen?
> Oder anders gefragt: Kann man sie in Gold umrechnen.

Nein, in Gold nicht, eher mehr Aktionen und größere Kampfkraft (ist bislang nur eine Idee).

> Ich würde Dir folgenden Mechanismus vorschlagen:
>
> Du druckst auf die Karte den Stärkewert und den Goldwert, den
> es dafür gibt. Evtl. noch den Wert, den alle anderen Spieler
> erhalten.

Vielleicht, ist mir aber zu starr. Vielleicht erstelle ich eine Tabelle oder Matrix mit ein paar Daten, das sollte reichen. Jedes Mal rechnen zu müssen, möchte ich mir ersparen.

> Viele Grüße, Hammer []==

Zurück, und vielen Dank!

[Andreas Keirat]

Thomas O. schrieb:
>
> Hallo,
>
> vielleicht kann mir jemand eine Lösung für mein Problem
> anbieten:
>
> 4 Spieler agieren unter unterschiedlichen Bedingungen
> (Stärkepunkte), sagen wir 40, 35, 27 und 22.
>

Kaie hat ja schon weiter oben einen guten Lösungsansatz gegeben, genauso wie Heinrich.

Allerdings empfehle ich dir dringend, diese Rechnerei irgendwo zu verstecken, denn wenn man das jede Runde selbst ausrechnen soll, bekommt der Besitzer des fertigen Spiels mit Sicherheit nach der dritten Spielrunde Prügel von den Mitspielern ;-)

Übrigens: Warum durften nur Mathematiker zur Lösung beitragen? *grins*

Ciao,

Andreas Keirat
www.spielphase.de

(war auch am Knobeln, bis er gesehen hat, daß er vom Wettbewerb ausgeschlossen war, hehe... Naja, bis er halt Kaies Lösung gelesen hatte)

[Volker L.]

Hallo, Thomas!

Ich finde, Du müsstest erstmal den Rest des Spiels
designen, bevor Du Dir über den konkreten Modus der
Berechnung Gedanken machst.

Warum?
Nun, ich nehme an, Du willst beide Optionen (viel Stärke
nehmen und dafür auf Gold verzichten bzw. wenig Stärke
wählen und dafür viel Gold bekommen) ungefähr ähnlich
attraktiv machen. Dann musst Du aber erst herausfinden,
wieviel mehr Gold die geringere Stärke durchschnittlich
ausgleicht, bevor Du eine geeignete Berechnung bzw.
einen Verteilungsmechanismus entwirfst, der diesem
Umrechnungsfaktor in etwa entspricht.

In Deinem Beispiel hat Spieler A 1,8mal soviel Stärke
wie D. Nach Kaies Berechnung gibt es dasselbe Verhältnis
auch beim Ertrag (umgekehrt), also D erhält 1,8mal soviel
Gold wie A. Nach Heinrichs Vorschlag bekommt D nur das
1,2fache dessen, was A bekommt.
Bevor man sich also für eine dieser beiden Varianten (oder
eine dritte) entscheidet, muss erstmal festgestellt werden,
wie groß der Goldvorteil des schwächsten sein muss, um
weder ihn noch den stärksten automatisch zum Sieger bzw.
Verlierer zu machen.

mögliche weitere Varianten der Verteilung wären:

* alle schwächeren erhalten zunächst die Differenz zum
stärksten, der Rest wird gleichmäßig aufgeteilt.

A: 41 (41+0)
B: 46 (41+5)
C: 54 (41+13)
D: 59 (41+18)

(bevor Du vor Begeisterung Purzelbäume schlägst: dass
der Rest ganzzahlig teilbar ist, ist pures Glück :-) )

* Die Gesamtsumme wird gleichmäßig aufgeteilt,
darüberhinaus bekommt jeder von der Bank einen Bonus in
Höhe von X Gold für jedes Mal, das seine Stärke gannazhlig
in der Gesamtsumme unterzubringen ist.

A: 50+5X (200:40=5)
B: 50+5X (200:35=5,7)
C: 50+7X (200:27=7,4)
D: 50+9X (200:22=9,1)

Vorteil von Vorschlag 1: Du musst nicht multiplizieren oder
dividieren, sondern nur subtrahieren.
Vorteil von Vorschlag 2: Du kannst durch Festlegung von
X = 1 Gold, X = 2 Gold, X = 3 Gold etc. relativ flexibel
die Berechnung an den Rest des Spiels anpassen.

Gruß, Volker

[Thomas]

Thomas O. schrieb:
> Während des Spiels soll ein Gesamtertrag so auf die Spieler
> verteilt werden, dass die unterschiedlichen Stärkepunkte
> berücksichtigt werden, z.B. ein Ertrag von 200 Gold.

Mathematische Berechnungen, die die genauen Verhältnisse der Stärkewerte berücksichtigen hast du ja schon von anderen hier erhalten. Ich würde dir vorschlagen, statt eine exakte Berechnung, die den Spielfluß und damit den Spielspaß ausbremst, einfach eine Art Plazierung anhand der Stärkewerte vorzunehmen:

1. Der Schwächste Spieler bekommt den größten Anteil
2. Der zweitschwächste Spieler bekommt den zweitgrößten Anteil
...
4. Der stärkste Spieler bekommt den kleinsten Anteil

Dabei kann der Anteil fix sein (z.B. 80, 60, 40, 20) oder es gibt zusätzlich Bonuspunkte für den Abstand zum Stärksten: Die Differenz zwischen der eigenen Stärke und der Stärke des Stärksten wird durch einen Faktor (z.B. 5 oder 10) geteilt und abgerundet (leicht zu merken: "Für je 10 Stärkepunkte, die der Spieler schwächer ist als der stärkste Spieler, bekommt der Spieler 2 Bonuspunkte").

Nett finde ich auch die Idee, dass die "Beute/Belohnung" reihum aufgeteilt wird. Sagen wir, es gibt 20 Plättchen mit unterschiedlichen Siegpunkt-Werten (z.B. 5, 10 und 15 - zufällig aus einem Sack gezogen). Dann darf zunächst der Schwächste Spieler sich fünf davon aussuchen, danach der zweitschwächste und der stärkste nimmt die fünf Plättchen, die übrig bleiben. Eine ähnliche Verteilung findet sich im Kartenspiel "Saboteur" von Amigo: Dort besteht die Beute aus Siegpunktkarten im Wert von 1 bis 3 und es darf gegen den Uhrzeigersinn jeder, der an dem Sieg beteiligt war, eine Karte nehmen.

[Claus]

Hallo Thomas,

du solltest neben den mathematischen Berechnungen auch mit bedenken, daß psychologische Dinge zum Tragen kommen können. Ich meine damit, daß sich die 2 oder 3 Spieler mit den meisten Stärkepunkten vielleicht gegenseitig bekämpfen und der oder die schwächsten Spieler dadurch ohnehin schon einen gewissen Vorteil haben.

Beispiel: Ich habe mal in einer Rätselaufgabe von einem "Dreiecksduell" gelesen, in dem die 3 Schützen immer schön brav im Uhrzeigersinn je einen Schuß auf einen Gegner ihrer Wahl haben. Natürlich harmlose Geschosse :) Es wird ausgelost wer beginnt.
Wer getroffen wird scheidet aus, und wer als Einziger übrigbleibt gewinnt.
Das zunächst erstaunliche Ergebnis war, daß der schlechteste Schütze die größten Gewinnchancen hatte, vorausgesetzt der Stärkste schießt auf den Zweitstärksten und umgekehrt, und der Schwächste hält sich solange raus (absichtlich daneben schießen), bis einer der anderen getroffen wird.
Wenn die 3 Schützen Trefferwahrscheinlichkeiten von 100%, 80% und 50% haben, gewinnt der 50%-Schütze mehr als die Hälfte aller Dreiecksduelle!

Freundliche Grüße
Claus

[Hartmut Kommerell]

Hallo Thomas,

ohne große Rechnerei solltest Du auskommen, wenn Du die Summe der Stärkepunkte konstant halten kannst, z.B. 20 Punkte mal Anzahl Spieler.
Bei 4 SPielern könnte die Verteilung dann z.B. 30, 22, 15, 13 lauten, Summe = 80

Den Stärkewert zeigst Du dann auf einer Skala an, die auf- und absteigende Werte anzeigt: Aufsteigend für die Stärke, absteigend für das Gold. Bsp: Skala von 0 - 50, Stärke 30 ergibt dann automatisch Goldfaktor 20, Stärke 22 den Goldfaktor 28.

Wenn Du dann noch den Gesamtbetrag Gold als Vielfaches der Stärkesumme definieren kannst, brauchst Du nur noch den Goldfaktor von der Skala antsprechend zu multiplizieren.

Ach so: Die Goldskala kann natürlich auch in anderen Schritten definiert werden als die Stärkeskala, z.B. 1, 1, 2, 2,...

Das Ganze läuft im Grunde wieder auf die Bewertung der 'Schwäche' hinaus, bloss dass jetzt 'Gesamtschwäche' und 'Gesamtgold' (bis auf den Multiplikator) konstant sind und deshalb nicht immer wieder neu berechnet werden müssen.

Ich hoffe, Du kannst damit was anfangen

Schöne Grüße

Hartmut

[Axel H.]

Hallo Thomas (O.),

ich schließe mich Thomas' Vorschlag an, die Spieler einfach anhand ihrer Stärken zu sortieren und dann abhängig von der insgesamt auszuschüttenden Goldmenge fixe Mengen an die Platzierten zu vergeben. So kann sich zwischen zwei etwa gleich starken Spielern (mehr oder weniger unabhängig von ihrer Gesamtplatzierung) ein zusätzliches kleines Duell entwickeln, vor der Auszahlung der Goldmengen noch den zusäzlichen Stärkepunkt gegenüber dem Konkurrenten zu bekommen, der einen in der Platzierung nach vorne bringt. Aber das ist sicherlich auch abhängig vom den Restmechanismen des Spiels.

Kann nächsten Freitag übrigens nicht zur Feuerwache kommen, wir sehen uns dann wahrscheinlich im April.

viele Grüße
Axel

[Thomas O.]

Vielen Dank an alle für die hilfreichen Beiträge. Natürlich will ich die Spieler nicht rechnen lassen, ich habe mich nur gefragt, ob sich mein Grundgedanke mathematisch umsetzen lässt. Dabei habt ihr mir geholfen, im Spiel wird es dann wohl eine "spielerische Lösung" geben; an eine solche Skala wie von Hartmut beschrieben habe ich auch schon gedacht. Aber mal sehen, wie es sich "spielt", das ist ja das Wichtigste.

Grüße

Thomas