Pfeilparadoxon

[peer]

Hi,
weil Heinrich es angesprochen hat... ;-)

Zenon bastelte ja drei Paradoxien zum Thema Bewegungen. Die ersten beiden sind relativ bekannt (werden sie aber dennoch auf Wunsch gerne wiederholen). Das dritte nicht so, obwohl (odr weil?) das das imho schwierigste ist:

Stellt euch einen Pfeil vor, der abgeschossen wurde und sich nn im Flug befindet. Man betrachte nun ein bestimmtes Zeitintervall, in dem der Pfeil kontinuirlich geradeaus fliegt.
Man nehme nun einen bestimmten Zeitpunkt in diesem Intervall. Es ist unmöglich, dass sich dieser Pfeil während dieses Augenblickes bewegt, da der Zeitpunkt die Dauer 0 hat und sich nicht gleichzeitig an zwei verschiedenen Orten aufhalten kann. Dementsprechend ist der Pfeil zu jedem beliebigen Augenblick des Intervalles bewegungslos. Das bedeutet, dass der Pfeil sich während dieser Zeitspanne nicht bewegt!

ciao,
Peer

[Tom]

:-?
Kann es sein, dass nicht nur der Zeitpunkt innerhalb des Intervalls die Dauer 0 besitzt, sondern auch das Zeitintervall selbst? Das würde auch erklären, dass sich der Pfeil während des Intervalls nicht bewegt, oder?
Tom

[Heinrich Glumpler]

Hi,

mir ist dazu eingefallen, dass jede Fläche aus Punkten besteht - ein Tisch hat eine Fläche von sagen wir 2 qm und das, obwohl jeder einzelne Punkt auf dem Tisch die Fläche Null hat.
Das ist doch sicher irgendwas von der Art "Unendlich mal Null = Etwas" - oder - es ist einfach falsch, zu behaupten, dass eine Fläche sich aus Punkten zusammensetzt.
Analog zum Pfeilparadoxon: das Intervall ist nicht die Summe der Zeitpunkte, die in ihm zu finden sind bzw. es sind unendlich viele Punkte und die ergeben Etwas.

Tja - Statistik hab' ich geliebt, aber für das Unendliche war mein Hirn immer ein bißchen zu endlich (ich wollte nicht "beschränkt" sagen ;-)

Gruesze
Heinrich

[Gustav der Bär]

Eine Bewegung ist doch eine Ortsveränderung, die zwischen einem früheren und einem späteren Zeitpunkt statt findet. Man braucht also zwei Zeitpunkte für eine Bewegung - hat man nur einen Zeitpunkt, dann kann man auch keine Bewegung haben.

Also gibt´s doch gar kein Paradoxon (sag´ ich mal so mit meiner "fünf" im Mathe-Abitur von 1975)

Auf Xuntheit!
Gustav der Bär
(Peter Gustav Bartschat)

[peer]

Hi,
Gustav der Bär schrieb:
>
> Eine Bewegung ist doch eine Ortsveränderung, die zwischen
> einem früheren und einem späteren Zeitpunkt statt findet. Man
> braucht also zwei Zeitpunkte für eine Bewegung - hat man nur
> einen Zeitpunkt, dann kann man auch keine Bewegung haben.
>

Ja, das ist gar nict blöd überlegt. Der Gedanke ist bei dem Paradoxon ist halt: Wenn ich die Zeitintervalle immer kürzer mache, wieso gibts dann plötzlich einen Stopp, wenn ich den Grenzwert habe? Beziehungsweise kann eine Summe einer Nichtbewegung eine Bewegung ergeben?

Mich erinnert das ganze an die Integralrechnung, bei der man ja auf dasselbe Phänomen stösst (Ein-PUnktintervalle sind Null, aber ein beliebig kleines Intervall nicht)

ciao,
Peer

[Jost Schwider]

"peer" hat am 08.11.2002 geschrieben:

> Stellt euch einen Pfeil vor, der abgeschossen wurde und
> sich nn im Flug befindet. Man betrachte nun ein bestimmtes
> Zeitintervall, in dem der Pfeil kontinuirlich geradeaus
> fliegt. [...]

M.E. kein Paradoxon; basiert letztendlich auf der Undefiniertheit der Division durch Null, hier: v = s / t mit t=0

Bullenauge sei wachsame Grüße
Jost aus Soest (sprich: "joost aus soost")

[Plau]

Hi

peer schrieb:
> Ja, das ist gar nict blöd überlegt. Der Gedanke ist bei dem
> Paradoxon ist halt: Wenn ich die Zeitintervalle immer kürzer
> mache, wieso gibts dann plötzlich einen Stopp, wenn ich den
> Grenzwert habe? Beziehungsweise kann eine Summe einer
> Nichtbewegung eine Bewegung ergeben?

Mit meinem mathematischen Verständniss würde ich mal sagen, dass ich duch bloßes "kürzermachen" eines Zeitintervalls niemals eine Zeitpunkt erreiche. Teile ich ein Intervall in zwei Teile haben beide Teile immer eine gewisse Ausdehnung Sonst habe ich das Intervall nicht geteilt.
Wenn ich duch verkleinern eines Intervalls nicht zu einem Punkt kommen kann gibt es auch keinen Grenzwert bzw. Stopp.
Anders ist es wenn du ein sehr sehr kleines Intervall als Null ansiehst. Dann hast trotztdem eine Geschwindigkeit. Diese ist allerdings auch sehr sehr klein und müsste dann, um nicht scheingenau zu sein, auch als Null angesehen werden.


> ciao,
> Peer

Grüße Plau

P.S.: Meine Tochter meint dazu:
zzzhkkkkkkkkkkkkkkkk,,.....###öööö..---##+++++´´´´´´´´´´´´fffffmmmmm m rdffffgff3eeee3333333333333333333333333333333^1111111^^^^11

[Marten Holst]

Moinle,

> P.S.: Meine Tochter meint dazu:
> zzzhkkkkkkkkkkkkkkkk,,.....###öööö..---##+++++´´´´´´´´´´´´fffffmmmmm
> m
> rdffffgff3eeee3333333333333333333333333333333^1111111^^^^11

Ich denke, das überzeugt mich, von daher schließe ich mich an und beende das Paradoxon :-))

gggggnnnnnnffff Grüße
Marten (+üdghfdzhgkjrecazdu)

[Plau]

Hi

Da du noch andere Paradoxien ansprichst, wie lauten denn die anderen beiden?

Grüße
Plau (der bei dem zwei-Ziegen-und-ein fettes-Auto-Problem auch mehrere Erklärungsversuche brauchte bis er die Lösung zumindest als mathematisch richtig akzeptieren konnte. Auch gefühlsmäßig akzeptieren konnte ich sie erst nach der kompletten Lektüre des Threads)

[peer]

Hi,
Wie gesagt hatte Zenon drei Paradoxien herausgebracht, das Pfeilparadoxon ist das dritte (er hatte auch noch ein viertes, doch davon ist nichts einigermassen schlüssiges übrig geblieben). Die anderen beiden:

1.). Nehmen wir an, dass sich ein Objekt von A nach B bewegt. Bevor es B erreicht, erreicht es Punkt A1 (die 1 als Index lesen, bitte!), der sich auf halben Wege zwischen A und B befindet. Dies ist der erste Schritt. Bevor das Objekt nun B erreicht, trifft es auf Punkt A2, das auf halben Wege zwischen A1 und B liegt. Dies ist der zweite Schritt. Usw.
Das Objekt wird B nucht mit einer endlichen Anzahl von Schritten erreichen, den für jede endliche Zahl n, erreicht der Körper nur Punkt An und vor dort aus kommt er mit einem weiteren Schritt wieder nicht zu B. Also muss der Körper unendlich viele Schritte machen um Punkt B zu gelangen, dies ist aber in einer endlichen Zeitdauer unmöglich!

2.) Das zweite Paradoxon ist das mit der bekannten Schldkröte:
Archilles versucht eine Schildkröte einzuholen. Er gibt ihr 100 Meter Vorsprung und ist 10x schneller (die Zahlen sind natürlich beliebig).
Als erstes läuft er zu dem Punkt, an dem sich die Schildkröte jetzt befindet, d.h. er läuft 100 Meter weit. Die Schildkröte ist mittlereile 10 Meter weiter. Jetzt läuft Archill dorthin, erreicht sie aber wiederrum nicht denn die Schildkröte ist einen weiteren Meter "gelaufen". Wenn Archilles dann auch diesen Schritt gelaufen ist, ist die Schildkröte 1/10 Meter weiter entfernt usw. Immer wenn Archill den Platz erreicht, an dem die Schildkröte zuvor gewesen ist, wird sie nicht mehr dort sein. Daraus folgt, dass Archilles die Schildkröte nicht einholen kann.


Und weils so schön war, noch ein kleines Paradoxon...Allerdings etwas makaber, denn man beweist, dass es unmöglich ist zu sterben:
(mit sterben sei hier "nicht mehr leben gemeint, um semantische Schlupflöcher zu schliessen).
Wann stirbt man? Sie kann nicht sterben, wenn sie schon tot ist, denn dann ist sie ja bereist tot.
Andererseits kann sie auch nicht sterben, wenn sie noch lebt, denn dann wäre sie gleichzeitig tot und lebendig, was ein Wiederspruch ist.
Folglich kann sie nicht sterben, wenn sie tot ist und auch nicht sterben, wenn sie lebt, also kann sie überhaupt nicht sterben...
ciao,
Peer (...vor 500 Jahren auf den schottischen Highlands geboren)

[Roman Pelek]

Hi Peer,

peer schrieb:

> Stellt euch einen Pfeil vor, der abgeschossen wurde und sich
> nn im Flug befindet. Man betrachte nun ein bestimmtes
> Zeitintervall, in dem der Pfeil kontinuirlich geradeaus fliegt.
> Man nehme nun einen bestimmten Zeitpunkt in diesem Intervall.
> Es ist unmöglich, dass sich dieser Pfeil während dieses
> Augenblickes bewegt, da der Zeitpunkt die Dauer 0 hat und
> sich nicht gleichzeitig an zwei verschiedenen Orten aufhalten
> kann. Dementsprechend ist der Pfeil zu jedem beliebigen
> Augenblick des Intervalles bewegungslos. Das bedeutet, dass
> der Pfeil sich während dieser Zeitspanne nicht bewegt!

Der zur Irritation eingebraute Denkfehler liegt im Grenzwertübergang gegen 0 bzgl. Zeitspanne und Ortsdifferenz. Geschwindigkeit ist ja definiert als Ortsdifferenz geteilt durch Zeitdifferenz.

Auch wenn sich der Pfeil zu einem festen Zeitpunkt an einem Ort befindet, so hat er doch Bewegungsenergie (und befindet sich deshalb auch zu jedem verschiedenen Zeitpunkt im Intervall an einem anderen Ort). Um die Bewegungsenergie, sprich Geschwindigkeit (v=s/t), des Pfeils an Ort s0 zum Zeitpunkt t0 zu bestimmen müsste man den Grenzwert von (s(t)-s0)/(t-t0), wenn t gegen t0 (und somit auch s(t) gegen s0) läuft, betrachten.

Man kann da nicht einfach durch die Dauer 0 dividieren, zumal auch die Ortsdifferenz gegen 0 läuft und sich somit im Grenzbereich Dinge so wegheben, dass eine eindeutige Geschwindigkeit herauskommt.

Im übrigen kann man solche Belange auch leicht auf anderes übertragen, um zu verwirren. Man nehme einfach mal einen Berg, der eine gewisse Steigung hat. Betrachtet man einen bestimmten Ort, so hat er dennoch eine feste Höhe, würde also nicht ansteigen. Ist aber genauso falsch ;-)

Ciao,
Roman

[Carsten Wesel]

"peer" hat am 11.11.2002 geschrieben:

> Folglich kann sie nicht sterben, wenn sie tot ist und auch
> nicht sterben, wenn sie lebt, also kann sie überhaupt nicht
> sterben...

> Peer (...vor 500 Jahren auf den schottischen Highlands
> geboren)

Gruß Carsten (der sich freut, daß es nur einen Peer gibt)
--
Gesammelte PEEPs gibt es unter folgender Adresse :)
http://www.linkhitlist.com/cgi/LHL_D.exe?SLHL&ListNo=37995809566
Gesammelte RFs gibt es nebenan, bei :-|
http://www.linkhitlist.com/cgi/LHL_D.exe?SLHL&ListNo=38263809566