Frage an die Mathematiker: Würfel/Karten-Wahrscheinlichkeiten

[Duchamp]

Im Spiel "CirKle Duo 228" http://www.boardgamegeek.com/boardgame/33106 geht es um Karten und Würfel. In meiner Geeklist bei BGG tauchte die Frage auf, ob die beiden Spieler überhaupt eine "bedeutsame Entscheidung" treffen können, oder nicht: http://www.boardgamegeek.com/geeklist/40776

Kurz, worum es geht: Zwei Spieler spielen mit 24 Karten und 4 Würfeln. Der eine bekommt die Karten, der andere die Würfel. Alle Würfelseiten sind je exakt einer Karte zugeordnet (stellen wir uns vor, sowohl Karten als auch Würfelseiten hätten die Zahlen 1 - 24).

Ablauf: Zunächst werden zwei Runden gespielt, in denen je ein Spieler die Karten hat, der andere die Würfel.
In jeder Runde legt der Karten-Spieler zunächst vier Karten aus. Der Würfel-Spieler würfelt drei mal mit allen vier Würfeln und erhält jede Karte, die er "erwürfelt". Die restlichen Karten gehen an den Karten-Spieler. Dies wird sechsmal wiederholt, bis die Karten aufgebraucht und aufgeteilt sind. Die Karten sind mit verschiedenen Punkten besetzt, die jetzt für jeden Spieler gezählt werden. Wer mehr Punkte hat, gewinnt die Runde.

Nach der zweiten Runde hat entweder ein Spieler beide Runden gewonnen und ist Sieger des Spieles, oder es gibt eine dritte Entscheidungsrunde. Der Spieler mit bisher den meisten Punkten darf entscheiden, ob er in dieser dritten Runde Karten- oder Würfel-Spieler ist.

Frage nun: Gibt es optimalere Lösungen für die Kartenauswahl oder sind einfach alle Ergebnisse gleich wahrscheinlich, Punkt aus? Und ist die Wahrscheinlichkeit für den Karten- oder den Würfel-Spieler höher, mehr Karten zu erhalten?

Auf BGG hat jemand angeregt, es sei vorteilhaft, vier Karten auszulegen, die alle auf demselben Würfel vertreten seien. Dies würde beim ersten Wurf ja eine Wahrscheinlichkeit von 2/3 bedeuten, eine Karte zu erhalten. Wie geht das aber weiter? In einem solchen Fall wäre es ja z.B. ausgeschlossen, alle vier Karten zu bekommen ...

Also, liebe Mathematiker und Mathe-Amateure: Ideen dazu?

[Fluxx]

Duchamp schrieb:
> Frage nun: Gibt es optimalere Lösungen für die Kartenauswahl
> oder sind einfach alle Ergebnisse gleich wahrscheinlich,
> Punkt aus? Und ist die Wahrscheinlichkeit für den Karten-
> oder den Würfel-Spieler höher, mehr Karten zu erhalten?
>
> Auf BGG hat jemand angeregt, es sei vorteilhaft, vier Karten

Wäre auch meine spontane Idee gewesen...

> auszulegen, die alle auf demselben Würfel vertreten seien.
> Dies würde beim ersten Wurf ja eine Wahrscheinlichkeit von
> 2/3 bedeuten, eine Karte zu erhalten. Wie geht das aber
> weiter?
> In einem solchen Fall wäre es ja z.B. ausgeschlossen,
> alle vier Karten zu bekommen ...
>
> Also, liebe Mathematiker und Mathe-Amateure: Ideen dazu?


Nun, in 1/3 aller Fälle liegen noch alle 4 Karten da, dann ist im 2. Wurf die Chance wieder 2/3 eine Karte zu bekommen. Man hat also auf diese Weise 1/9 (1/3*1/3) Chance keine Karte zu haben und 2/9 (1/3*2/3) Chance eine Karte zu haben. Dazu noch der Fall, dass im ersten Wurf eine Karte genommen wurde. Dann ist im zweiten Wurf die Wahrscheinlichkiet eine Karte zu bekommen 1/2. Das ergibt eine Wahrschgeinlichkeit von 2/6 = 3/9 (2/3*1/2) eine weitere Karte zu bekommen und noch mal 1/3 auf der einen Karte sitzen zu bleiben. Insgesamt also
1/9: keine Karte
5/9: eine Karte
3/9: 2 Karten
nach 2 Würfen.
Nach 3 Würfen ist dass dann:
1/9*1/3= 1/27 = 2/54 keine Karte
1/9*2/3 + 5/9 * 1/2 = 19/54 eine Karte
5/9*1/2+3/9*2/3 = 27/54 2 Karten
3/9*1/3= 3/27 = 6/54 3 Karten
Die Chancen liegen also auf Seiten des Kartenmenschen, da er in 21/54 aller Fälle mehr Karten behält als abgibt und nur in 6/54 aller Fälle mehr Karten abgibt als behält.

Das gleiche kann man natürlich für andere Verteilungen von Karten auch so machen (z.B. von jedem Würfel eine Karte) um dann zu vergleichen ob es da anders aussieht.

Das Ganze hat jetzt aber noch nicht berücksichtigt, dass die Karten verschiedene Wertigkeiten haben. Evtl macht es auch Sinn immer 4 Karten mit etwa gleicher Wertigkeit hinzulegen. Da bin ich jetzt aber zu faul zu das zu berechnen ;)

[Andreas Last]

Also, so wie du es beschreibst, gibt es keinerlei Entscheidungen zu treffen. Man würfelt ja nur und nimmt die Karten, die man getroffen hat, sofern sie ausliegt. Die Wahrscheinlichkeiten beim Würfeln sind aber immer dieselben, weil ein Würfelwurf ja nicht den nächsten bedingt. Dadurch ist es an sich auch egal, in welchen Kombinationen der Kartenspieler seine Karten auslegt.

Im Mittel wird der Würfelspieler die Karten bekommen, die nahe dem Durchschnitt liegen, also (24+4)/2= 14. Je weiter der Wert der Karten von der 14 entfernt ist, desto unwahrscheinlicher bekommt der Würfelspieler sie. 1-3 wird er nie bekommen :D

Entscheidungen könnten Einzug in dieses Spiel finden, wenn der Würfelspieler nach der Kartenauslage ansagen dürfte, wie viele Würfel er für die nächsten 3 Würfe benutzen will. Denn so müsste sich auch der Kartenspieler Gedanken machen, was für Kartenkombinationen er auslegt.

[Duchamp]

Kleines Missverständnis, glaube ich. Es geht nicht um normale Würfel mit 1 - 6 Augen, sondern um spezielle Würfel, deren jede Seite exakt einer Karte zugeordnet ist. Insofern unterscheidet es sich, ob man Karten auslegt, die nur einem Würfel zugeordnet sind, oder z.B. allen vier Würfeln. Im zweiten Fall kann es passieren, dass mit einem einzigen Wurf alle Karten weg sind. Im ersten Fall kann der Würfler maximal drei Karten ergattern.

Undsoweiter ...

[Andreas Last]

Hm... ok... dann lässt sich aber ausrechnen, welche Kartenverteilung die optimale ist. Die legt der Kartenspieler halt grundsätzlich aus und hat so die beste Chance, das Spiel zu gewinnen. Ist dann also nur noch eine Pseudoentscheidung.

[Günter Cornett]

Andreas Last schrieb:
>
> Hm... ok... dann lässt sich aber ausrechnen, welche
> Kartenverteilung die optimale ist. Die legt der Kartenspieler
> halt grundsätzlich aus und hat so die beste Chance, das Spiel
> zu gewinnen. Ist dann also nur noch eine Pseudoentscheidung.

Imho ist die Entscheidung, soweit es um die Kartenanzahl geht:
Wenn ich weniger Karten mit hoher Wahrscheinlichkeit will, lege ich Symbole eines Würfels aus. Will ich die Möglichkeit vier Karten zu bekommen und nehme dafür eine geringere Wahrscheinlichkeit in Kauf, lege ich Karten verschiedener Würfel.

Allerdings dürften die Unterschiede bei nur zwei bzw. drei Durchgängen nicht wirklich gravierend sein.

Entscheidend sind aber wohl die Kartenwerte. Ich würde immer die vier punktschwächsten Karten hinlegen, es sei denn, die Werte unterscheiden sich nicht gravierend.

Ansonsten: nette Idee, um ein Spiel draus zu machen. :)

Gruß, Günter

[Duchamp]

Die Werte sind jeweils 3, 5, 7, 9, 13 und 20.
Jeder Wert ist mit jedem Würfel einmal zu erwürfeln, also sechs entsprechende Karten zugeordnet.

Warum immer die "punktschwächsten Karten"? :-?

[Günter Cornett]

Duchamp schrieb:
>
> Die Werte sind jeweils 3, 5, 7, 9, 13 und 20.
> Jeder Wert ist mit jedem Würfel einmal zu erwürfeln, also
> sechs entsprechende Karten zugeordnet.
>
> Warum immer die "punktschwächsten Karten"? :-?

Gute Frage. Mein Gedanke war: zu verhindern, dass der gegenspieler keine Punkte abzocken kann. Aber ich habe nicht bedacht, dass ich dann auch weniger Punkte bekomme. :)

Also: hohe Karten, wenn man sie auf verschiedene Würfel verteilt, niedrige Karte, wenn man nur die Karten eines Würfels nimmt - sag ich mal so aus dem Bauch raus (bis zum nächsten Einwand).

Gruß, Günter

[Duchamp]

Okay, sagen wir: Zunächst spielen wir je vier Karten eines Würfels mit den niedrigen Werten (3, 5, 7, 9). Wahrschenlichkeit, relativ viele Karten zu behalten, sind nicht sehr hoch, da ja die Würfel-Analyse ergeben hat, dass so recht viele für die Würfelseie zu gewinnen sind.

Nach viermaliger Wiederholung dieser "Strategie" bleiben zu jedem Würfel zwei zugehörige Karten übrig. Die mit den höheren Werten (13 und 20). Diese spiele ich jetzt aus, am besten je vier Karten, die jeweils einem anderen Würfel zugeordnet sind.

Optimales Spiel?

[Günter Cornett]

Günter Cornett schrieb:
>
> Duchamp schrieb:
> >
> > Die Werte sind jeweils 3, 5, 7, 9, 13 und 20.
> > Jeder Wert ist mit jedem Würfel einmal zu erwürfeln, also
> > sechs entsprechende Karten zugeordnet.
> >
> > Warum immer die "punktschwächsten Karten"? :-?
>
> Gute Frage. Mein Gedanke war: zu verhindern, dass der
> gegenspieler keine Punkte abzocken kann. Aber ich habe nicht

:oops: :oops: seufz, ich hoffe man liest, was gemeint ist, nicht was ich geschrieben habe, oder so ... :oops: :oops:

> bedacht, dass ich dann auch weniger Punkte bekomme. :)
>
> Also: hohe Karten, wenn man sie auf verschiedene Würfel
> verteilt, niedrige Karte, wenn man nur die Karten eines
> Würfels nimmt - sag ich mal so aus dem Bauch raus (bis zum
> nächsten Einwand).
>
> Gruß, Günter

[Telemarker]

Shame on you, Mr. Fluxx! Sie haben meiner Firma eine wertvolle Stunde Arbeitszeit gekostet, weil ich gerade in Stimmung war, wieder mal etwas elementare Wahrscheinlichkeitsrechnung zu exerzieren...

Falls es jemand interessiert:
Für den Fall, das jedem Würfel eine Karte zugewiesen wird:
(ohne nähere Herleitung, die wird nämlich etwas aufwändiger als im obigen Fall...)

Karten für den Würfler:
keine Karte: 11%
eine Karte: 33%
2 Karten: 36%
3 Karten: 18%
4 Karten: 3%

(Jaja, bin irgendwann mal mit ein paar Zehntelprozente falsch abgebogen, deshalb Summe 101%)

Damit sind hier 4 Karten immer noch unglaublich viel wahrscheinlicher, als die Möglichkeit, dass spielen keinen Spaß mehr macht.

Fanden Sie den letzten Satz hilfreich?
X ja X nein X weiß nicht X hab Angst

[Duchamp]

Telemarker schrieb:
>
> Falls es jemand interessiert:
> Für den Fall, das jedem Würfel eine Karte zugewiesen wird:

Also, es ist so, dass jeder Würfelseite genau eine Karte zugewiesen ist, siehe Bild hier:

http://www.boardgamegeek.com/image/453855

... ich hoffe mal, du hast dich da jetzt aufgrund dessen nicht verrechnet - das wäre ja sonst nochmal eine Stunde ... ;-)

[Telemarker]

:-D

Meiner schlampigen Formulierung ging glücklicherweise eine weitaus präzisere Lektüre deiner Fragestellung voraus, hehe.

[Andreas Last]

Ich war schon am überlegen :D Ich hab doch eher bessere Chancen, viel zu behalten, wenn ich Karten eines Würfels auslege? Also leg ich 4 hohe Karten eines Würfels aus. Damit ist eine schon mal Sicher meine. Und die kleinen Karten verteile ich eher.

[Günter Cornett]

Andreas Last schrieb:
>
> Ich war schon am überlegen :D Ich hab doch eher bessere
> Chancen, viel zu behalten, wenn ich Karten eines Würfels
> auslege? Also leg ich 4 hohe Karten eines Würfels aus. Damit
> ist eine schon mal Sicher meine. Und die kleinen Karten
> verteile ich eher.

Wenn du Karten eines Würfels auslegst (4 von 6), bist du mit 2/3 Wahrscheinlichkeit eine Karte mit dem ersten Wurf los. Wenn das der Fall ist beim zweiten Wurf mit eine 1/2 Wahrscheinlichkeit (3 von 6). Und dann gibt es immernoch 1/3 für die dritte Karte, aber 0 für die vierte. Also im Schnitt gehen da etwas mehr als die Hälfte der Karten an den Würfler.

Wenn ich mit 3 Würfen versuche eine bestimmte von 6 Zahlen zu treffen, schaffe ich das mit einer Wahrscheinlichkeit von 0,42 (1-125/216). Wenn ich das viermal mache gehen im Schnitt etwas weniger als 2 Karten an den Würfler.

Allerdings hast du im zweiten Fall eine größere Wahrscheinlichkeit 1 oder 4 Karten zu kriegen als im ersten (und zwar eher 1 als 4). Bei der 1-Würfel-Methode ist es aber wahrscheinlicher 2 oder 3 Karten zu erwürfeln als bei der 4-Würfel-Methode.


Von daher empfiehlt sich fast immer, die Karten auf alle Würfel zu verteilen. Ich würde so anfangen: erst die hohen Werte auf 4 Würfel verteilt.

Ist das Ergebnis ausgewogen oder zu meinen Ungunsten, bleibe ich dabei. Habe ich aber Glück gehabt und einen großen Punktevorsprung geholt ( z.B. 6 oder gar 7 der 8 Karten), dann wechsel ich zur 1-Würfel-Methode, wo ich ziemlich sicher Punkte verlieren werde, aber ganz sicher nicht alle Punkte.

Sag ich mal so, leichtsinnig wie ich bin.

Gruß, Günter

[Martin Windischer]

Eine kurze Rechnung ergab:

Wenn alle 4 Karten auf dem selben Würfel zu finden sind, bekommt der Würfler durchschnittlich 91/54 Karten.
Wenn die 4 Karten alle auf einen anderen Würfel zu finden sind, bekommt der Würfler durchschnittlich ebenfalls 91/54 Karten.
Auch, wenn 2 Karten auf einem Würfel liegen, und 2 Karten auf einen anderen Würfel, bleibt der Erwartungswert bei 91/54 Karten für den Würfler.

Ich vermute mal stark, dass sich das auch bei anderen Verteilungen der Karten nicht ändert...

Und der Kartenleger bekommt auf alle Fälle mehr Karten.

Die Verteilung der Punkte auf den Karten könnte aber vielleicht bezüglich der optimalen Strategie eine Rolle spielen (auch wenn ich nicht daran glaube...)

[Attila]

Hiho,

Wie kann man 91/54 Karten bekommen?
Mehr als *alle* geht doch wohl kaum.

Ich denke du meinst 54/91.

Atti

[Günter Cornett]

Attila schrieb:
>
> Hiho,
>
> Wie kann man 91/54 Karten bekommen?
> Mehr als *alle* geht doch wohl kaum.
>
> Ich denke du meinst 54/91.
>
> Atti

nein, er meint 91/54, also im Schnitt knapp 1,7 Karten pro Runde.
Und ja, er hat recht. Meine "etwas mehr als die Hälfte der Karten", also 2,x beruhten auf gefühlter Mathematik.

Der Unterschied zwischen beiden Verfahren ist imho, dass man die möglichen Ergebnisse durch die Verteilung auf 4 Karten strecken kann (1-4 Karten für den Würfler), während er mit der anderen Methode maximal 3 Karten bekommt.

In Analogie zum Roulette wäre die Entscheidung, ob du deinen letzten Chip auf eine 50% mit niedriger oder 3%-Chance mit hoher Gewinnmöglichkeit setzen sollst. Brauchst du wenig, ist die sichere Methode vozuziehen, brauchst du mehr, als du mit der sichereren Methode gewinnen kannst, so ziehe die unsichere vor. Da am Ende nur Sieg oder Niederlage zählt und nicht die Höhe des Ergebnisses, brigt dir die sicherere Methode nichts, wenn du dennoch sicher, wenn auch knapper verlierst.

Gruß, Günter

[Duchamp]

Also, habe alles in Feinarbeit durchgerechnet.

Die Wahrscheinlichkeiten für die vom "Würfel-Spieler" erhaltenen Karten nach drei Würfen mit allen vier Würfeln sind wie folgt.

Hat der Kartenspieler Karten gelegt, die alle demselben Würfel zugeordnet sind (4 - 1):
0 Karten: 0,037
1 Karte: 0,352
2 Karten: 0,5
3 Karten: 0,111
4 Karten: 0

Sind drei der Karten demselben Würfel und eine einem anderen zugeordnet (3 - 1, 1 - 1):
0 Karten: 0,072
1 Karte: 0,350
2 Karten: 0,41
3 Karten: 0,156
4 Karten: 0,012

Sind jeweils 2 Karten demselben Würfel zugeordnet (2 - 1, 2 - 1):
0 Karten: 0,088
1 Karte: 0,335
2 Karten: 0,401
3 Karten: 0,157
4 Karten: 0,019

Sind zwei Karten demselben, die anderen beiden jeweils einem Würfel zugeordnet: (2 - 1, 1 - 1, 1 - 1):
0 Karten: 0,099
1 Karte: 0,334
2 Karten: 0,374
3 Karten: 0,168
4 Karten: 0,025

Sind alle Karten einem anderen Würfel zugeordnet: (1 - 1, 1 - 1, 1 - 1, 1 - 1):
0 Karten: 0,112
1 Karte: 0,327
2 Karten: 0,357
3 Karten: 0,173
4 Karten: 0,031

So, und nun die interessanten Zahlen. Der relevante Wert ist ja derjenige: Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass ich als "Karten-Spieler" MEHR Karten bekomme als der "Würfel-Spieler"? Hier die Ergebnisse:

4-1:
0,278

3-1, 1-1:
0,254

2-1, 2-1:
0,247

2-1, 1-1, 1-1:
0,240

1-1, 1-1, 1-1, 1-1:
0,235

Hey, die "alle Karten von einem Würfel"-Strategie bringt mir also in etwa 4/100 aller Fälle mehr Karten! Super!

Da ich aber niemals auch nur im Entferntesten beeinflussen kann, WELCHE Karte der Würfler ergattert, diese aber im Wert zwischen 3 und 20 variieren (und es geht bei der Auswertung ja um Punktezählen, nicht um Kartenanzahl), geht die Relevanz der Kartenzuordnung gegen NULL.

Quod erat demonstrandum.

[Martin Windischer]

Die relevante Frage ist nicht, wie groß die Wahrscheinlichkeit auf mehr Karten ist. Es bringt mir nichts, wenn ich zweimal 3 Karten bekomme, dafür das nächste mal gar keine. Endergebnis wäre trotzdem 6-6.
Der wichtige Wert ist der Erwartungswert der Anzahl der Karten, und der ist (hab ich jetzt nicht nachgerechnet, aber lässt sich mit deiner Tabelle schnell überprüfen) überall gleich.

Die einzige Strategie, die bleibt:

Wenn man hinten ist, nimmt man die Verteilung mit möglichst großer Standardabweichung, wenn man führt, die Verteilung mit möglichst kleiner Standardabweichung. Diese Werte hängen auch von den Werten der Karten ab (und außerdem, ob diese Karten überhaupt noch im Stapel sind), und ich glaube, das ist per Hand zu viel Arbeit, das auszurechnen. Da lässt man lieber einen Computer ran.

[Duchamp]

Martin Windischer schrieb:
> Der wichtige Wert ist der Erwartungswert der Anzahl der
> Karten, und der ist (hab ich jetzt nicht nachgerechnet, aber
> lässt sich mit deiner Tabelle schnell überprüfen) überall
> gleich.

Genau. Wenn man nämlich die Werte noch mit der Anzahl der Karten multipliziert, erhalte ich jedesmal einen Wert von durchschnittlich 1.685 Karten für den "Würfler" und 2.315 Karten für den "Kartenspieler". Und zwar vollkommen unabhängig von der Zuordnung der Karten zu einem oder mehreren Würfeln. Die Effekte heben sich vollständig auf.

> Die einzige Strategie, die bleibt:
>
> Wenn man hinten ist, nimmt man die Verteilung mit möglichst
> großer Standardabweichung, wenn man führt, die Verteilung mit
> möglichst kleiner Standardabweichung. Diese Werte hängen auch
> von den Werten der Karten ab (und außerdem, ob diese Karten
> überhaupt noch im Stapel sind) ...

Das kapiere ich nun wieder nicht. Der Erwartungswert ist ja immer derselbe.

Die einzige Entscheidung ist m.E., wenn man glücklicherweise mehr Punkte in den ersten beiden Runden gesammelt hat, also wählen darf, was man in der dritten Runde spielt, die Karten zu wählen.

[Erklärbär]

Hallo Duchamp,

ich habe doch einmal die Wahrscheinlichkeitslehre auch nach "Monte Carlo" gelernt. Und ein kleiner Programmiersnack am Samstagmorgen... :-) :-)

Ergo lies ich das Spiel mit 3 verschiedenen "Strategien" des Kartenspielers ein paar Tausend Partien durchlaufen, und siehe da: ich möchte doch gerne die Karten haben...

Dabei ist 4-0 eine Vorgabe "Alle 4 Karten von einem Würfel", und 1-1-1-1 als anderes Extrem "alle Karten von verschiedenen Würfeln". Bei 4-0 muss beachtet werden, dass die letzten beiden Durchgänge aber 2-2 sind, da die Werte ausgehen. Ergo macht es einen "strategischen" (statistischen) Unterschied, ob ich erst die hohen und dann zum Ende die niedrigen Punktwerte spiele, oder umgekehrt.

Ergebnis mit 100,000 simulierten Partien:

[pre]
TotalPunkte = 228, MonteCarlo = 100000.

4-0 hoch..niedrig:
Ergebnis: 1203 ties, 79007 card wins, 19790 dice wins = CARD.

4-0 niedrig..hoch:
Ergebnis: 1184 ties, 76402 card wins, 22414 dice wins = CARD.

1-1-1-1:
Ergebnis: 1108 ties, 74305 card wins, 24587 dice wins = CARD.
[/pre]

Soviel zu diesem Spiel...

Servus,
Heinz

[Erklärbär]

Hallo Duchamp et al,

da ja wohl auch die Frage ist, wie weit denn Karten- und Würfelspieler auseinander liegen, wenn beide je einen Durchgang gewinnen, und sich der bessere dann die Karten aussucht, so ist die Durchschnittspunktzahl relevant:

[pre]
TotalPunkte = 228, MonteCarlo = 1000000.
Ergebnis (4-0 hoch..niedrig):
13200 ties,
791811 card wins,
194989 dice wins =
CARD wins.
131.9 avg. card points,
96.1 avg. dice points.
Ergebnis (4-0 niedrig..hoch):
12636 ties,
765245 card wins,
222119 dice wins =
CARD wins.
131.9 avg. card points,
96.1 avg. dice points.
Ergebnis (1-1-1-1):
11723 ties,
741451 card wins,
246826 dice wins =
CARD wins.
131.9 avg. card points,
96.1 avg. dice points.

Laufzeit: 10:45.76[/pre]

Allemal kann der Würfelspieler im dritten Durchgang auch gewinnen, aber eher unwahrscheinlich.

Servus,
Heinz

[Martin Windischer]

Ja, der Erwartungswert ist derselbe, doch schlussendlich kommt es darauf an, mehr Punkte zu haben als der Gegner, wie groß der Vorsprung ist, ist eigentlich uninteressant (Ok, nicht ganz, aber zumindest in der dritten Runde...).

Hier ein kleines Beispiel, wie die Standardabweichung das Ergebnis beeinflussen kann. Wir werfen 10 mal eine Münze. Vor jedem Münzwurf darf ich einen Einsatz sagen, den der Verlierer dem Gewinner zahlen muss. Der Erwartungswert ist bei diesem Spiel immer 0. Wenn ich jetzt aber für den ersten Wurf den Betrag 10 festlege und diesen Wurf gewinne, kann ich durch Festlegen der Beträge für die weiteren Runden auf 1 sicher gewinnen. Wenn ich den ersten Wurf verliere, kann ich für die nächste Runde den Betrag auf 20 erhöhen, dann fallen die 10 nichts mehr ins Gewicht...
Durch diese Strategie kann ich meine Gewinnwahrscheinlichkeit auf 1-0,5^10 erhöhen.
Klar, der Erwartungswert meines Gewinns liegt immer noch bei 0. Aber trotzdem hab ich die Wahrscheinlichkeit für meine Führung radikal erhöhen können, indem ich die Standardabweichung der einzelne Spiele bestimmen hab können.