Frage an die Statistiker

[Thomas O.]

Hallo,

folgende Situation:
Es gibt 3 verschiedene Rohstoffe (A, B und C), die jeweils in gleicher Anzahl vorhanden sind (zu Beginn je 20 von jedem Rohstoff).
Es gilt nun, eine Kombination aus 3 Rohstoffen abzubauen, und zwar per unbewusstem (also blindem) Zugriff.
Kombination 1) sei A, B, C
Kombination 2) sei A, B, B
Kombination 3) sei B, B, B

Gibt es hier einen Unterschied hinsichtlich der Wahrscheinlichkeit? Ich gehe davon aus, dass die Wahrscheinlichkeit für 3) am geringsten ist und für 1) am größten, aber kann das jemand in Zahlen ausdrücken? Und wie verändert sich dies mit sinkender Gesamtzahl der Rohstoffe (bei gleichmäßigem Abbau. also nicht mehr 20/20/20, sondern z.B. 6/6/6).

Danke für eure Hinweise!

Thomas

[quantar]

Hi,
ja du hast recht, da es sich um ein "Ziehen ohne Zurücklegen handelt", beim "Ziehen mit Zurücklegen" wären die WS identisch.
Fall 1
beim ersten Ziehen beträgt die WS für A ca. 33,33% (20 Treffer aus 60 möglichen). Die WS danach B zu ziehen liegt bei ca. 33,89% (20 Treffer aus 59 möglichen). Danach C liegt bei 34,48% (20 Treffer bei 58 möglichen).

Fall 2
Erst A = 33,33%
danach B = 33,89%
danach wieder B = 32,75%

Fall 3
Erst B = 33,33%
danach B = 32,20%
Wieder B = 29,31%

Man kann nun auch für die drei Fälle insgesamt noch die WS berechnen, aber da bin ich gerade zu faul zum rechnen. :-X

Für das Beispiel mit 6/6/6 läuft das analog, du musst die Anzahl der möglichen Treffer immer nur durch die Anzahl aller möglichen Ereignisse insgesamt teilen und erhälst die WS dazu.

Gruß
Kelvin

[Heinrich Glumpler]

Hi,

oh - oh - ich antworte wieder mal, ohne vorher zu Stift und Papier gegriffen zu haben (aber ich liebe solche Fragen), also ohne Gewähr meine Überlegungen:

Annahmen:
Der Sack ist voll (n, n, n)
Ich greife drei mal hinein und sehe mir dann an, was ich habe.

In dem Fall ist die Wahrscheinlichkeit für


A B C
identisch mit der Wahrscheinlichkeit
- ich greife irgeneines heraus (= 1), ich nenne es X
- ich greife etwas raus, was nicht X ist, ich nenne es Y
- ich greife etwas raus, was weder X noch Y ist

= 1 * (40/59) * (20/58) (a)

A B B
Jetzt wird es kompliziert, da ich die Wahrscheinlichkeiten berechne unter der Annahme, dass ich die Dinger nacheinander raushole, d.h., hier ist es die Wahrscheinlichkeit, dass ich

A B B oder B A B oder B B A heraushole (addieren), also

(20/60) * (20/59) * (19/58)
plus
(20/60) * (20/59) * (19/58)
plus
(20/60) * (19/59) * (20/58)

BBB ist wieder einfacher:

1 * (19/59) * (18/58)

Jetzt die Gegenprobe für A B C:

A B C oder A C B oder B A C oder B C A oder C A B oder C B A

(20/60) * (20/59) * (20/58)
plus
(20/60) * (20/59) * (20/58)
plus
(20/60) * (20/59) * (20/58)
plus
(20/60) * (20/59) * (20/58)
plus
(20/60) * (20/59) * (20/58)
plus
(20/60) * (20/59) * (20/58)

= 0.2337814

= 1 * (40/59) * (20/58) (siehe oben: (a))

Grüße
Heinrich

[Thygra]

quantar schrieb:
> Fall 1
> beim ersten Ziehen beträgt die WS für A ca. 33,33% (20
> Treffer aus 60 möglichen). Die WS danach B zu ziehen liegt
> bei ca. 33,89% (20 Treffer aus 59 möglichen). Danach C liegt
> bei 34,48% (20 Treffer bei 58 möglichen).

Das ist unvollständig. Du musst diese 3 Werte jetzt noch multiplizieren, also 0,3333 * 0,3389 * 0,3448. Und dann noch *6 rechnen, weil es 6 verschiedene Fälle gibt. Heinrich hat es richtig gerechnet in seinem Beitrag, es kommt am Ende 0,2337 raus, also 23,37 % für ABC.

Das gilt dann analog auch für die anderen Fälle.

[quantar]

Thygra schrieb:
>
> Das ist unvollständig. Du musst diese 3 Werte jetzt noch
> multiplizieren, also 0,3333 * 0,3389 * 0,3448. Und dann noch
> *6 rechnen, weil es 6 verschiedene Fälle gibt. Heinrich hat
> es richtig gerechnet in seinem Beitrag, es kommt am Ende
> 0,2337 raus, also 23,37 % für ABC.
>
> Das gilt dann analog auch für die anderen Fälle.

ja, wie ich schrieb "fehlte" da noch was, da ich den Rechenweg nicht im Kopf hatte. Naja, jetzt haben wir es ja zusammen. ;)

[Andreas.Pelikan]

Stimme Heinrichs Berechnungen zu, allerdings hat sich ein kleiner Fehler eingeschlichen:

> BBB ist wieder einfacher:
>
> 1 * (19/59) * (18/58)
>

Das ist das die Wahrscheinlichkeit fuer XXX (drei beliebige gleiche), nicht fuer BBB. Letztere ist mit
(20/60) * (19/59) * (18/58)
um 1/3 kleiner.

Hier eine allgemeine Formel, die sich auf beliebig viele Rohstoffe und beliebig viele gezogene (Karten aus einem Stapel, Kugeln aus einer Urne, Chips aus einem Beutel, ...) anwenden laesst.

Zeichenerklaerung:
==================
x!: x faktorielle
x! = 1*2* ... *(x-1)*x
0! = 1
1! = 1
2! = 1*2=2
3! = 1*2*3=6
...

(xCy): x choose y; Wie viele Moeglichkeiten gibt es, y Elemente aus x Elementen auszuwaehlen (Reihenfolge egal).
xCy = x! / ( (x-y)! * y! )
Kuerzt man x!/(x-y)! durch, bleiben im Zaehler y Faktoren, x*(x-1)*...*(x-y+1), zB:
(45C6) = (45*44*43*42*41*40)/(1*2*3*4*5*6)
gibt die Zahl der verschiedenen Lottotipps im Oesterreichischen 6 aus 45 (8 145 060)

Nun zum Problem: In einer Urne liegen n1 Kugeln der Farbe 1, n2 Kugeln der Farbe 2, ...., nm Kugeln der Farbe m. Insgesamt sind das N=n1+n2+...+nm Kugeln. Es werden K Kugeln herausgezogen, bei jeder Ziehung ist die Wahrscheinichkeit, eine bestimmte Kugel zu ziehen, fuer alle uebrigen Kugeln gleich hoch. Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, k1 Kugeln der Farbe 1, k2 Kugeln, der Farbe 2, ...., km Kugeln der Farbe m zu ziehen?

Antwort:

P = (n1Ck1)*(n2Ck2)*...*(nmCkm) / (N C K)

Beispiele:
BBB aus (20,20,20).
k1=0, k2=3, k3=0, K=3,
n1=20,n2=20, n3=20, N=60
P = (20C0)*(20C3)*(20C0) / (60C3)
= 1 * (20*19*18/(3*2*1)) * 1 / (60*59*58/(3*2*1))
= 1 140 / 34 220
~ 3.331%

ABB aus (20,17,20)
k1=1, k2=2, k3=0, K=3
n1=20, n2=17, n3=20, N=57
P = (20C1)*(17C2)*(20C0) / (57C3)
= (20/1) * (17*16/(2*1)) * 1 / (57*56*55/(3*2*1))
= 20 * 136 * 1 / 29 260
~ 9.296%

ABC aus (19,15,20)
k1=1, k2=1, k3=1, K=3
n1=19, n2=15, n3=20, N=54
P = (19C1)*(15C1)*(20C1) / (55C3)
= (19/1) * (15/1) * (20/1) / (54*53*52/(3*2*1))
= 5 700 / 24 804
~ 22.98%

ABC aus (6,6,6)
P = 6*6*6/816
~ 26.47%

Fuer sehr grosse n1,n2,n3 sind die Wahrscheinlichkeiten annaehernd
P(AAA) ~ 1/27
P(ABB) ~ 3/27
P(ABC) ~ 6/27

Sinken n1, n2 und n3 gleichmaessig, steigt die Wahrscheinlichkeit fuer ABC leicht, waehrend die Wahrscheinlichkeit fuer AAA sinkt. Allerdings verschieben sich die Wahrscheinlichkeiten, wenn die Rohstoffe ungleichmaessig reduziert werden.

[Heinrich Glumpler]

Hi,

korrekt - BBB hab ich falsch berechnet.

Hat trotzdem Spass gemacht :)

Grüße
Heinrich

[raccoon]

Fühlt euch ungestört hier und rechnet ruhig seitenweise weiter - ich bin schon weiter oben bei Heinrich ausgestiegen ;) , auch wenn es irgendwie faszinierend ist. Immer wieder lustig finde ich jedenfalls, dass hier manchmal eine Woche tote Hose sein kann, und wehe, es gibt einen neuen Beitrag in der Rubrik, stürzen sich ein paar versierte Leute drauf und tippen fleißig los - einfach klasse :) .

[Thomas O.]

Vielen Dank an all die versierten Leute, die sich auf das Thema gestürzt und wild drauflos getippt haben :-)