Wachsende Spielfelder

[RoGo]

Guten Morgen,

ich mag Spiele mit sich entwickelnden Spielfeldern.
Gibt es Spiele mit letzlich geschlossenen Landschaften, die sich nicht aus gleichseitigen Sechsecken (Kings&Things und co.), Quadraten (Carcassone, Goldland etc.) oder gleichseitigen Dreiecken zusammensetzen?

Gibt es eine Abhandlung über archimedische Körper der Ebene?
Hahnenfüße?

Geometrische Grüße

Roland

[Michael Blumoehr]

Hallo,

bei "Kreuzweise" werden kreuz-förmige Karten aneinandergelegt. Ein Bekannter von mir hat ein Spielfeld mit spatenförmigen Kacheln entwickelt, aber wenn ich mich recht erinnere, sind das topologisch dann doch wieder Sechsecke, immerhin gibt es keine Lücken. Das ist auch mit Achtecken möglich, die an einer Seite ein kleines Quadrat zum Schliessen der entstehnden Lücken haben, die ansonsten entstehen (s. neuerdings "Nautilus").

Soweit ich mich erinnere lassen sich Flächen eben nur durch Dreiecke und Rechtecke vollständig ohne Lücken belegen (Sechsecke sind zusammengefasste Dreiecke).

Ansonsten müßte das nicht archimedische "Flächen" heissen? Irgendwelche Abhandlungen gibt's da bestimmt. Viel Spaß beim Suchen,
Michael

[Arno C. Hofer]

"RoGo" hat am 08.02.2002 geschrieben:
> Guten Morgen,
>
> ich mag Spiele mit sich entwickelnden Spielfeldern.
> Gibt es Spiele mit letzlich geschlossenen Landschaften, die
> sich nicht aus gleichseitigen Sechsecken (Kings&Things und
> co.), Quadraten (Carcassone, Goldland etc.) oder
> gleichseitigen Dreiecken zusammensetzen?
>
> Gibt es eine Abhandlung über archimedische Körper der Ebene?
> Hahnenfüße?
>
> Geometrische Grüße
>
> Roland

manchmal finden wir in spielen auch puzzleteile, die dann spielflächen ergeben, was ich sehr gern habe, als beispiel fällt mir da "carolus magnus" (winning moves) ein oder die "missisippi queen" - oder erinnerst du dich vielleicht an "cubus"(reinhold wittig/kosmos-perlhuhn) dort erzeugten rauten den eindruck eines kistenstapels mit offenen und geschlossenen holzkisten...

arno

[hannes]

RoGo schrieb:

> Gibt es eine Abhandlung über archimedische Körper der Ebene?

:D Da geht es wohl um "Parkettierungen der Ebene", englisch "Tessellations". Deine archimedischen Körper der Ebene heissen wohl (englisch) semi-regular tessellations.

Hier drei Links :

-Eine farbige erste Einführung ins Thema:
http://www.coolmath.com/tesspag1.htm

-Eine umfassende Linksammlung zum Thema :
http://mathforum.org/sum95/suzanne/links.html

-Was es auch noch gibt :
http://aleph0.clarku.edu/~djoyce/poincare/poincare.html

Noch ein weiteres Stichwort zum Thema : die Graphiken von Mauritius C. Escher.

Flächendeckende Grüsse

hannes

[Hartmut Thordsen]

Hallo Hannes,

danke für die interessanten Links, da werde ich mal stöbern. Schon vor Jahren habe ich (ohne Wissen um die umfassende Theorie) einige wenige eigene Puzzles entwickelt, die auf der Parkettierung mit regelmäßigen Forman aufbauen. Dabei habe ich auch nach einem geeigneten Fünfeck gesucht und siehe: ES GEHT!

Klar, das ist kein regelmäßiges Fünfeck. Auch gibt es nicht nur eines, sondern viele, abhängig von den Winkeln. Die Bedingungen zur Konstruktion sind: Zwei nicht direkt benachbarte Winkel sind rechte Winkel. Die an den rechten Winkeln anliegenden Seiten sind gleichlang. Hübsch sieht's aus, wenn man die offenen Winkel so festlegt, dass die fünfte Seite die gleiche Länge wie die anderen vier hat. Die Ebene füllen die Teile lückenlos aus, wobei an den Eckpunkten vier (rechte Winkel!) bzw. drei Teile zusammenkommen.

Das Puzzle besteht aus den 17 verschiedenen Teilen, die sich aus je 4 der Elemente formen lassen, und einer Form, die Platz für 16 der Teile bietet (eines darf übrigbleiben). Die Formen sind offenbar derart ungewohnt für den Drei-/Vier-/Sechseck-Geschulten, dass der Umgang mit den Puzzleteilen einige Übung verlangt.

Soweit ich es belegen kann, dürfen nur 5 der 17 Teile als Restteil übrigbleiben, aber trotz ungezählter Stunden (es haben sich schon einige Tüftler damit beschäftigt) sind bislang nur Lösungen für 3 dieser Teile gefunden worden. Es fehlt noch der Beleg, wie eine Lösung für die übrigen 2 Teile aussieht, bzw. der Beweis, das es nicht geht.

Jean Claude Constantin - vielen bekannt mit seinem bunten Knobelstand auf der SPIEL in der vorderen Halle - hat das Puzzle produziert, d.h. man kann es bei ihm kaufen und somit die Bastelei sparen. Die Teile sind aus Holz und haben dank Laserschnitt eine sonst nicht zu erreichende Präzision.

Sollte sich mal jemand von Euch mit dem Teil beschäftigen, so freue ich mich über alle Lösungen, Zuschriften, abgefahrene mathematische Theorien usw.

Hartmut
- Spielekreis Hiespielchen -

[Wolfgang Ditt]

Hallo Hartmut,

die erste fünfeckige Form, die ich kenne, ich das "Haus vom Nikolaus". 4 von ihnen lassen sich zu einem Kreuz zusammenfügen (die Dächer als Kreuzungspunkt in der Mitte) und dieses Kreuz füllt dann die Ebene.

Allgemein gibt es für beliebige Eckanzahl >= 3 eine unregelmäßige Form. Man nimmt ein gleichseitiges Dreicke und definiert für das unregelmäßige n-Eck noch n-3 180 Grad Winkel auf den Seiten. Sieht immer noch wie ein Dreieck aus, erfüllt aber mathematisch die Bedingung (-:

Wolfgang

[Hartmut Thordsen]

Hallo Wolfgang,

> die erste fünfeckige Form, die ich kenne, ich das "Haus vom Nikolaus".

Stimmt - die tut es also auch, wobei dadurch aber doch eine weniger regelmäßige Verteilung in der Ebene zu beobachten ist. Sorry, ist nicht sehr "mathematisch" ausgedrückt. Ich meine, wenn man sich das mal auf eine größere Fläche aufzeichnet, wirkt diese Teilung vermutlich eher unregelmäßig, aber da mag ich mich irren. Schließlich haben wir es mit drei (!) rechten Winkeln je Fünfeck zu tun, und auch da, wo die beiden anderen Winkel zweier "Häuser" zusammentreffen, muss ein rechter Winkel (welcher? wie muss das Haus orientiert sein?) den Vollkreis ergänzen.

>Allgemein gibt es ...
Uff, da spricht der Mathematiker. Naja, ich meine schon noch, dass es nicht unbedeutend ist, wie das flächenfüllende Vieleck "aussieht", auch wenn ein Dreieck mathematisch gesehen auch als Siebenundneunzigeck durchgehen mag ;-) Und da ist schon fraglich, für welche natürlichen Zahlen es ein n-Eck gibt, das die Fläche füllt, wobei ich wirklich eine Form mit n "richtigen" Ecken meine. Also für 3, 4, 5, 6 geht es - darüberhinaus habe ich mir noch keine Gedanken gemacht. Zumindest durchgängig "konvexe" Formen (Innenwinkel an den Ecken jeweils kleiner 180 Grad) dürften schwerlich zu finden sein.

Interessant sind aber auch Parkettierungen, die mehrere Grundformen kombinieren. So entstehen zwischen regelmäßigen Achtecken kleine Quadrate. Solche Parkettierungen haben für mich aber nicht mehr den Reiz der einfachen Teilungen mit einer Grundform, es sei denn die Übergänge sind fließend (eines meiner Puzzles basiert auf dem Rosettenmuster, das man mit dem Zirkel mit gleichbleibenden Radien konstruieren kann, wenn man stets den Schnitt zweier Kreise als Mittelpunkt eines dritten verwendet).

Hartmut

[Carsten Wesel]

"Hartmut Thordsen" hat am 08.02.2002 geschrieben:

> Uff, da spricht der Mathematiker.

Wo wir schon mal dabei sind...

> Also für 3, 4, 5, 6 geht es - darüberhinaus habe ich mir
> noch keine Gedanken gemacht.

Das gemeine 2-Eck gehört auch noch in diese Kategorie :LOL:


> Interessant sind aber auch Parkettierungen, die mehrere
> Grundformen kombinieren.

Oh ja, ich habe die Links auch alle besucht und jetzt ein paar Favoriten mehr, denn mit dem Lesen bin ich natürlich noch lange nicht durch.

Gruß Carsten ([b]der seine Freizeit regelmäßig mit Spielen füllt[/b] 8) )

[Marten Holst]

Moinle,

> > Uff, da spricht der Mathematiker.
>
> Wo wir schon mal dabei sind...

Und der Wolfgang wird noch laut lospoltern, dass das doch eine [i]inf[/i]ame Beleidigung sei, denn er selbst ist keiner ;-)

> > Also für 3, 4, 5, 6 geht es - darüberhinaus habe ich mir
> > noch keine Gedanken gemacht.
>
> Das gemeine 2-Eck gehört auch noch in diese Kategorie :LOL:

Hmmm, wie willst Du denn mit einem Objekt der Fläche 0 eine Fläche füllen? ;-)

> Gruß Carsten ([b]der seine Freizeit regelmäßig mit Spielen
> füllt[/b] :cool:[i][/i])

Tschüß
Marten (der sich manchmal in seiner Freizeit füllt. Aber demnächst ist ja Aschermittwoch, da beginnt die Fastenzeit ;-)[i][/i])

[RoGo]

Vielen dank für all die tollen Tips,
das Netz ist doch was feines.
Und unter Hannes links sind auch Eure Fünfecke:
http://mathforum.org/dynamic/one-corona/4.html
für den Nichtmathematiker-Hingucker.
verpuzzelte Grüße

[Hartmut Thordsen]

Hallo Marten,

>Und der Wolfgang wird noch laut lospoltern, dass das doch >eine infame Beleidigung sei, denn er selbst ist keiner

Nö, wird er nicht, denn ich weiß das schon, und er weiß, dass ich das weiß, denn wir sind vom gleichen Fach. Sollte nur ein verstecktes Kompliment sein, dass er mit den Mathe-Grundlagen mit Sicherheit noch besser vertraut ist als ich.

@RoGo: Dein Link hat's leider gezeigt - wusste ich's doch, ich komm' wieder zu spät.

Hartmut (immer diese Informatiker, tsstss...)

[RoGo]

Hallo Wolfgang,
bei Nautilus, das ich leider noch nicht kaufen konnte, arbeitet Ihr doch mit achtecken. War das von Anfang an so oderhabt ihr verschiedene Formen getestet? Gerade das Zusammenspiel von zwei Formen: Achtecke und Quadrate eröffnet - glaube ich - neue Möglichkeiten. Wobei sich die Neuheit natürlich nur auf mich bezieht.
Schöne Grüße
und Glückwunsch zum U-Boot
Roland

[Wolfgang Ditt]

Hallo Roland,

die Entscheidung für die Achtecke war einer der ersten, die überhaupt getroffen wurden. Wenn du auf unserer Site gelesen hast, wie das Spiel entstanden ist, weißt du, dass es zunächst eine Weltraumstation war. Ob im All oder später im Wasser, dort gibt es viel Platz und keine Notwendigkeit "eng an eng", also flächendeckend zu bauen. Auch Bilder solcher Stationen, die ja meist der Fantasie entsprungen sind, zeigen irgendwelche Formen mit "Armen und Knubbeln", die aneinandergesteckt sind. Dies sollte auch bei unserem Spiel so sein und wir suchten nach einer ästhetischen Form ,die nicht flächendeckend ist. Wir kamen schnell auf die Achtecke, die man in Quadrate einbettet. Diese Form erzielte von Anbeginn die Stationsformen, wie sie in unseren Köpfen existierte und so ist sie bis zum endgültigen "Nautilus" geblieben.

Die viereckigen Löcher hingegen hatten für uns nie eine Bedeutung - sie verschwanden im Nichts, gefüllt mit Vakuum bzw. Wasser. Da der Bau der Station unregelmäßig ist, entstehen diese Quadrate nur selten und sind im Spiel auch nicht planbar, obwohl schon so manches U-Boot auf einem solchen Feld gestanden hat.

Wolfgang

P.S.: Solche Fragen richte an besten an Brigitte, die sich viel mehr mit solchen Formen und vor allem auch Körpern in der Mathematik beschäftigt hat.

[Wolfgang Ditt]

Hallo Hartmut,

wenn du von unregelmäßigen Formen spricht, gibt es noch zwei sehr einfache: die Raute (mit mit je zwei Winkeln zu 60 bzw. 120 Grad) und das Trapez (halbes regelmäßiges Sechseck).

Von Escher gibt es auch noch einen komplexes dreiarmigen Pfeil, bei dem die Pfeile des einen in die Seite des anderen greifen. Aber Escher war in dieser Hinsciht eine Kapazität für sich.

Spaßig sind auch Formen wie die "Puzzelmännchen", die ja eigentlichen Quadrate sind, aus denen man zwei Kriese herausgeschnitten hat und sie an den anderen Seiten anzuflanschen. Dadurch bekommt man eine Richtung. Die Whisky-Siedler haben dies Prinzip auf Sechsecke ausgedehnt, indem sie leichte Bögen als Seiten verwendeten.

Wir haben auch schon mit regelmäßigen Fünfecken experimentiert. Die ergeben teilweise sehr schöne,aber schwer beherrschbare Formen.

Wolfgang

[Heinrich]

Gibt es eine Bezugsadresse für Claude Constantins Puzzles. Versendet er sie auch? Wie viel kostet dieses 5-eck Puzzle.
Vielen Dank für die Hinweise.