Wahrscheinlichkeiten bei 3 Würfeln

[Matthias Prinz]

Hallo,

ich stelle mir gerade eine Tabelle zusammen, in der die Wahrscheinlichkeiten abgebildet sind, mit verschieden vielen Würfeln bestimmte Summen zu würfeln.

Zum einfachen Einstieg:
Bei einem Würfel kann man eine Summe von 1-6 würfeln. Die Wahrscheinlichkeit dafür ist jeweils 1/6.

Bei zwei Würfeln können 36 Ereignisse eintreffen (6^2). Eine Summe von 2 zu würfeln tritt nur ein, wenn man zwei 1er würfelt => Wahrscheinlichkeit von 1/36
Eine 7 zu würfeln hat die höchste Wahrscheinlichkeit mit 6/36 (=1/6).
Das kennen wir ja aus Siedler.

Probleme habe ich nun bei 3 Würfeln. Hier steh ich momentan total aufm Schlauch.
Also klar ist:
Es können 216 Ereignisse auftreten (6^3)
Eine 3 zu würfeln müsste demnach analog 1/216 Wahrscheinlichkeit haben (1,1,1)
Eine 4 zu würfeln hat dann 3/216 Wahrscheinlichkeit (1,1,2) = 1 Möglichkeit * 3 (wegen Permutation)
Eine 5 zu würfeln demnach 6/216: (1,1,3) * 3 ; (1,2,2) * 3
Analog zur Summe 6: (1,1,4) * 3; (1,2,3) * 3; (2,2,2)*3 => 9/216
Wenn man allerdings jetzt denkt, dass es sich um eine algorithmische Reihe handelt, liegt falsch.
Instinktiv habe ich die Reihe fortgesetzt, also
1/216; 3/216; 6/216; 9/216; 12/216 usw.
Der mittlerste Wert liegt dann bei der Summe 10 und 11, bei dem es je eine Wahrscheinlichkeit von 21/216 gibt (was mir schon irgendwie ziemlich gering vorkommt). Danach müssten die Wahrscheinlichkeiten wieder genauso fallen, wie sie bisher gestiegen sind. Eine Summe von 17 hat also dann wieder 3/216, die 18 hat 1/216 (6,6,6)
Wenn man jetzt allerdings die Zähler addiert kommt man nur auf 170 statt auf 216.

Wo liegt mein Fehler?
Bin ich total auf dem Holzweg?

Hab mir schon dutzende Zeichnungen gemacht und komm einfach nicht weiter.

Danke euch im vorraus, alle Tipps erwünscht :)

Der mathematisch verwirrte
- Matthias

[Carsten Wesel | FAIRspielt.de]

Matthias Prinz schrieb:
>
> Probleme habe ich nun bei 3 Würfeln. Hier steh ich momentan
> total aufm Schlauch.
> Also klar ist: Es können 216 Ereignisse auftreten (6^3)
> Eine 3 zu würfeln müsste demnach analog 1/216
> Wahrscheinlichkeit haben (1,1,1)

> Analog zur Summe 6: (1,1,4) * 3; (1,2,3) * 3; (2,2,2)*3 =>
> 9/216

Welche 3 Möglichkeiten gibt es denn, 3 2en zu würfeln?

> Hab mir schon dutzende Zeichnungen gemacht und komm einfach
> nicht weiter.

Das müsste ein Würfel sein. Gemalt? Das müsste dann doch so ausssehen:

WUERFEL(1,1,1)=1
WUERFEL(1,1,2)=3
WUERFEL(1,1,3)=3
WUERFEL(1,1,4)=3
WUERFEL(1,1,5)=3
WUERFEL(1,1,6)=3
WUERFEL(1,2,2)=3
WUERFEL(1,2,3)=6
WUERFEL(1,2,4)=6
WUERFEL(1,2,5)=6
WUERFEL(1,2,6)=6
WUERFEL(1,3,3)=3
WUERFEL(1,3,4)=6
WUERFEL(1,3,5)=6
WUERFEL(1,3,6)=6
WUERFEL(1,4,4)=3
WUERFEL(1,4,5)=6
WUERFEL(1,4,6)=6
WUERFEL(1,5,5)=3
WUERFEL(1,5,6)=6
WUERFEL(1,6,6)=3
WUERFEL(2,2,2)=1
WUERFEL(2,2,3)=3
WUERFEL(2,2,4)=3
WUERFEL(2,2,5)=3
WUERFEL(2,2,6)=3
WUERFEL(2,3,3)=3
WUERFEL(2,3,4)=6
WUERFEL(2,3,5)=6
WUERFEL(2,3,6)=6
WUERFEL(2,4,4)=3
WUERFEL(2,4,5)=6
WUERFEL(2,4,6)=6
WUERFEL(2,5,5)=3
WUERFEL(2,5,6)=6
WUERFEL(2,6,6)=3
WUERFEL(3,3,3)=1
WUERFEL(3,3,4)=3
WUERFEL(3,3,5)=3
WUERFEL(3,3,6)=3
WUERFEL(3,4,4)=3
WUERFEL(3,4,5)=6
WUERFEL(3,4,6)=6
WUERFEL(3,5,5)=3
WUERFEL(3,5,6)=6
WUERFEL(3,6,6)=3
WUERFEL(4,4,4)=1
WUERFEL(4,4,5)=3
WUERFEL(4,4,6)=3
WUERFEL(4,5,5)=3
WUERFEL(4,5,6)=6
WUERFEL(4,6,6)=3
WUERFEL(5,5,5)=1
WUERFEL(5,5,6)=3
WUERFEL(5,6,6)=3
WUERFEL(6,6,6)=1

SUMME(3)=1
SUMME(4)=3
SUMME(5)=6
SUMME(6)=10
SUMME(7)=15
SUMME(8)=21
SUMME(9)=25
SUMME(10)=27
SUMME(11)=27
SUMME(12)=25
SUMME(13)=21
SUMME(14)=15
SUMME(15)=10
SUMME(16)=6
SUMME(17)=3
SUMME(18)=1


Gruß Carsten (der seine Arbeitszeit sinnvoll nutzte)

[Heinrich Glumpler]

Hi,

ohne jetzt all deine Rechnungen nachzuvollziehen:

Die Summe 6 mit den Zahlen 1, 2, 3 kann man aus folgenden Kombinationen bekommen:

1 2 3
1 3 2
2 1 3
2 3 1
3 1 2
3 2 1

Das sind schon mal 6 Kombinationen - im Gegensatz zu den 3 Kombinationen, die du dafür angenommen hast.

222 gibt es nur in 1Kombination und 114 (korrekt) in 3 Kombinationen, ergo ergeben sich insgesamt 10 Kombinationen aus drei Würfeln, die eine Summe von 6 ergeben (anstelle deiner 9 Kombinationen).

In der Hoffnung, mich jetzt nicht auf die Schnelle blamiert zu haben...

...Grüße
Heinrich

[Immanuel]

So geht´s auf:

1
3
6
10
15
21
25
27
27
25
21
15
10
6
3
1

Grüßle,
Immanuel

[Carsten Wesel | FAIRspielt.de]

Carsten Wesel | FAIRspielt.de schrieb:
>
>
> WUERFEL(1,1,1)=1
> WUERFEL(1,1,2)=3
> SUMME(17)=3
> SUMME(18)=1
>

Mist, im BB-Code schreibt man das wohl in eckigen Klammern... *grummel*

Gruß Carsten (der schneller als Heinrich gewürfelt hat :)) )

[Matthias Prinz]

.

[Thomas Rauscher]

Hallo Matthias,

an sich ist der Lösung von Immanuel nichts hinzuzufügen. Interessant für Dich ist vielleicht, das es ein Teilgebiet der Mathematik gibt, das sich genau mit diesem Kram beschäftigt, nämlich die Kombinatorik. Hier ein (allerdings wirklich nur einführender) Link.

http://de.wikipedia.org/wiki/Kombinatorik

Die Kombinatorik ist wiederum die Grundlage der Wahrscheinlichkeitsrechnung.

Dein spezielles Problem ist übrigens nicht so trivial, ich habe erst gedacht, dass es im Netz bestimmt ein Beispiel oder sogar eine Formel gibt, habe mich da aber getäuscht. Die meisten Beispiele in der Literatur behandeln Fragen wie z.B. 'Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, bei 20 Würfen xmal die 6 zu würfeln'. Dafür gibt's Formeln.

In deinem Problem ist es das Summieren der Augenzahlen, das es schwierig macht, d.h. die Ermittlung aller möglichen Kombinationen, die in der Summe eine bestimmte Zahl ergibt (was eben kein klassisches Kombinatorisches Problem ist).

Gruß

Thomas

[Matthias Prinz]

Hallo Thomas,

dessen bin mir durchaus bewusst, Mathe-LK im Abi und Mathe-Klausur im Studium mit Kombinatorik-Anteil blieben mir nicht erspart ;)

Ich habe mir das Problem auch einfacher vorgestellt, aber wenn man sich zu lange drübersetzt, verliert man leicht den Faden und den Überblick und weiss garnicht mehr, was man jetzt permutieren muss und was nicht, ob die Würfel in einer Reihenfolge betrachtet werden müssen oder nicht usw.
Mein einziger Fehler war letztendlich, dass ich einmal bei Paschen permutiert habe, obwohl das nicht notwendig war und an anderer Stelle bei drei verschiedenen Würfelaugen zu wenig permutiert habe.

Und ja, ich habe nicht selten Aufgaben der Art "Ist die Wahrscheinlichkeit höher, mit 2 Würfeln bei 5maligem Würfeln keinen 6er Pasch zu würfeln oder bei 24 Würfelwürfen mit einem Würfel keine 6 vorkommt"

Aber tricky war bei meinem Problem einfach nur die Summe, da man diese ja mit verschiedenen Augenzahlen erreichen kann.

Sei's drum. Ihr hattet ja nen klareren Kopf zu dem Thema, ich hab meine Lösung und daraus ist auch ein schönes Spielchen entstanden, dass ich gestern schon erfolgreich in meiner Spielerunde vorgestellt habe. Ich werde euch dann lobend erwähnen, wenn die Anleitung gedruckt wird ;)

Schöne Grüße
- Matthias

[Ulf]

Eine kleine Frage...
Mit welcher Wahrscheinlichkeit wirkt es sich positiv oder negativ auf einen Spieler aus, wenn er weis, das seine Chancen für einen erfolgreichen Wurf bei 1 : xxxxxx liegen? ...
Bitte nicht falsch verstehen, aber es interessiert mich, was man mit dieser Tabelle konkret anfangen kann, wenn man sie erstellt hat.
Würdest du mir evtl. ein, zwei Nutzungsbeispiele verraten können?
Danke im Vorraus
Ulf

[Immanuel]

Hallo Ulf,

bei der Entwicklung eines Spiels ist es - zum Beispiel für die Vergabe von Siegpunkten, Rohstoffen o.ä. - schon von Interesse, mit welcher Wahrscheinlichkeit (sprich wie oft im Durchschnitt) ein bestimmtes Ereignis auftritt. Und beim Spielen natürlich auch, oder baust Du bei Siedler Deine Stadt gerne an die zwei oder zwölf?
Ähnlich stelle ich mir die Problemstellung bei Matthias vor.

Grüßle,
Immanuel (der die Idee, die Wahrscheinlichkeit eines Ergebnisses durch die Größe der Zahlen auszudrücken, gut findet und sich fragt, ob Klaus Teuber das patentieren ließ - oder gab´s das schon vorher mal?)

[Immanuel]

Hallo Ulf,
nachdem ich eben deinen Beitrag weiter unten gelesen habe, stelle ich fest, dass ich wohl deine Frage missverstanden habe und Du auf meine Idee wohl selber schon gekommen bist.

Nix für ungut,
Grüßle,
Immanuel

[Peter Nos]

Hallo Thomas, hallo Matthias,
danke für den schönen Anlaß mal wieder in meiner Kombinatorik Vorlesung blättern zu dürfen ;-).
Wahrscheinlich sollte die Formel:
C(m-1,r-1) - C(r, 1)*C(m-1 - 1*6) - C(r, 2)*C(m-1 - 2*6) - ... - C(r,r)*C(m-1 - r*6)
die Anzahl der Möglichkeiten ergeben, mit r Würfeln die Summe m zu würfeln. Dabei ist C(m,r) der Binomialkoeffizient, d.h. die Anzahl der r-elementigen Teilmengen einer Menge mit m Elementen (mit C(m,r) = 0 für r>m oder m<0 und C(m,0) = 1).
Die Formel ist zwar nicht gerade übersichtlich aber doch ziemlich elementar.

So selten ist das Problem übrigens nicht. Eng verwandt ist nämlich die Aufgabe, die Anzahl der Lösungen der Gleichung X1 + ... + Xr = m mit ganzzahligen Xi > 0 zu bestimmen. Dies ist gerade C(m-1,r-1) (dies läßt sich am Pascalschen Dreieck ablesen). Davon müssen nur alle Lösungen mit Xi > 6 (d.h. Würfelergbnisse >6) abgezogen werden um auf das obige Ergebnis zu kommen.

Auch wenns nicht wirklich weiterhilft (vielleicht ist die Überlegung aber auch ziemlich falsch)
noch viele Grüße,
p.

[Matthias Prinz]

Hallo Ulf,

mein Spiel läuft grob gesagt folgendermaßen ab:
Jeder Spieler hat ein Set von 18 Karten, die von 1 bis 18 durchnummeriert sind. Davon liegen immer 3 aus. In einer Runden werden mehrmals Karten nachgezogen und so die alte Karte überdeckt.
Der Clou ist jetzt, dass der Spieler am Zug zuerst mit 3 Würfeln würfelt. Stimmt keine ausgelegte Karte mit der Würfelsumme überein, würfelt er weiter mit 2 Würfeln. Wieder keine Übereinstimmung: Würfeln mit einem Würfel.
Sollte zwischendurch eine Karte erfüllt werden, darf man wieder mit 3 Würfeln anfangen zu würfeln usw.

Die Wahrscheinlichkeiten haben mich insoweit interessiert, da es ja redunante Würfelergebnisse geben kann, sprich: Eine 6 kann ich mit 1,2 oder 3 Würfeln werfen, während ich eine 16 nur mit 3 Würfeln hinkriege.
Dementsprechend haben die verschiedenen Karten unterschiedlich hohe Punktzahlen, denn wer die meisten Punkte hat, gewinnt (oder der Spieler, der zuerst seine ganzen Karten "wegwürfeln" konnte)
Ausserdem muss dann der Spieler entscheiden, welche Karten aus der vorherigen Runde er mit einer neuen Karte überdecken will:
"Hmm, ich habe jetzt eine 16 gezogen. Wenn ich die würfele, bringt sie mir viele Punkte. Lohnt es sich also damit die 6 zu überdecken, die leicht gewürfelt wird, aber nur 1 Punkt bringt? Andererseits habe ich die 6 dann schonmal aus dem Spiel..."

Hört sich vielleicht langweilig an, ist es aber wiklich nicht ;) Zumal ich noch ein anderes sehr witziges Element drin habe, das ein wenig Pepp in die Angelegenheit bringt, aber das will ich erstmal nicht hier offenbaren.
Komm einfach zu, nächsten Kölner Autorentreffen ;)

Sonnige Grüße
- Matthias